Mathematik



Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen

Eigenwertgleichung

Ob in der Physik für Differentialgleichungen, in Mathematik für Basistransformationen oder Informatik für Bildbearbeitung, früher oder später kommt jeder MINT-Student mit dem Thema Eigenwert-Rechnung in Berührung. Das ist auch kein Wunder, denn dies ist ein fundamentales Konzept der Linearen Algebra. Im folgenden möchte ich zeigen wie man Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet. Zuerst schauen wir uns an, was eine Eigenwertgleichung ist und wie ihre Komponenten bezeichnet… Weiterlesen

Kurvenintegral 2. Art berechnen

Kurvenintegral zweiter Art

Im letzten Beitrag habe ich erklärt, wie Kurvenintegrale der ersten Art berechnet werden, d.h. die Integrale, die entlang eines Weges über einen skalaren Feld definiert sind. Jetzt schauen wir uns die Kurvenintegrale über Vektorfelder an. Das Kurvenintegral der zweiten Art ist wie folgt definiert (vergleiche mit der 1. Art). ∫ωf ds=∫abf(ω(t))·dω(t)dtdt  Die Berechnung von Kurvenintegralen der zweiten Art läuft fast genauso, wie der ersten Art ab…. Weiterlesen

Kurvenintegral 1. Art berechnen

Beispiel einer Kurve in 3D-Raum.

Im Folgenden möchte ich erklären, wie man Kurvenintegrale der ersten Art berechnet. Haben wir eine stetige skalare Funktion f und eine mindestens ein mal stetig differenzierbare Kurve ω(t) in parametrisierter Form gegeben, so berechnet sich das Kurvenintegral von f entlang der Kurve ω(t) wie folgt: ∫ωf ds=∫abfωtdωtdtdt  Was zunächst kompliziert aussieht, ist eine einfache “Schema F”-Vorschrift. Falls nicht bereits vorgegeben, müssen folgende Punkte abgehandelt werden: Parametrisierung… Weiterlesen

Matrix invertieren mit Gauß-Jordan-Algorithmus

Eine Matrix

Im Folgenden möchte ich zeigen, wie man eine Matrix mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus invertiert. Zuerst ist zu klären, was eine inverse Matrix ist. Ist eine Matrix A gegeben, so nennt man die Matrix B die Inverse der Matrix A, wenn gilt AB=E, wobei E die Einheitsmatrix ist. Man bezeichnet B mit A-1. Grundsätzlich sind nur quadratische Matrizen invertierbar und das auch nur unter der Bedingung,… Weiterlesen

Quadratwurzel mit Bisektion berechnen

Bisektion-Verfahren. Das Intervall zwischen L und H in der Mitte teilen und testen ob der Wert m unter- oder überschätzt wurde. Intervallgrenzen anpassen.

Im Folgenden werde ich zeigen, wie man relativ einfach die Umkehrfunktion einer monotonen Funktion berechnen kann. Als Beispiel nehme ich die Wurzelfunktion. Nehmen wir an, wie möchten die Wurzel von 10 berechnen. Wie geht man dabei vor? Wir kennen das Ergebnis nicht, aber wir können sagen in welchem Bereich es sich befindet. Der Betrag der Wurzel wird auf jeden Fall größer oder gleich der 0… Weiterlesen

Herleitung der pq-Formel

Ich muss gestehen, dass ich nicht weiß wie die pq-Formel lautet bzw. ich vergesse sie ständig. Das liegt wohl daran, dass ich sie in der Schule nie wirklich gelernt habe. Wie habe ich dann quadratische Gleichungen gelöst? Mit quadratischer Ergänzung. Damit bin ich immer gut zurecht gekommen, weil diese Lösungsmethode für mich logischer erschien als irgendwelche vorgegebenen Formeln zu verwenden. Neulich habe ich mit einem… Weiterlesen

Berechnung von Determinanten einer 2×2, 3×3, 4×4 und nxn-Matrix

3x3 Determinante

Eine Determinante ist eine Zahl die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird. Mit Hilfe einer Determinante kann man einiges über die Eigenschaften einer Matrix aussagen. Determinante einer 2×2-Matrix: Dieser Fall ist besonders simpel: detabcd=ad–bc Beispiel: det2–351=2*1––3*5=17 Determinante einer 3×3 Matrix: Um diese Berechnungsformel nicht merken zu müssen gibt es eine Berechnungshilfe. Man schreibt die ersten beiden Spalten hinter die Matrix. Danach kann man die Regel von… Weiterlesen

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