Den Schnittpunkt zwischen zwei Normalverteilungen berechnen

Im Folgenden zeige ich eine kurze Herleitung für die Berechnung des Schnittpunktes zwischen zwei Normalverteilungen.

Angenommen man hat folgendes Bild und man möchte den Schnittpunkt (im Bild symbolisiert durch eine Linie) zwischen den beiden Normalverteilungen berechnen.

Zwei sich überlagernde Normalverteilungen.

Zwei sich überlagernde Normalverteilungen.

Zuerst brauchen wir die Gleichung für die Normalverteilung:

fA,μ,σ=A12πσeμx22σ2

Dabei ist µ der Erwartungswert, σ die Standardabweichung und A eine Skalierung.
Möchte man den Schnittpunkt zwischen zwei Normalverteilungen berechnen, so muss gefordert werden, dass die Funktionswerte der beiden Normalverteilungen am Schnittpunkt x gleich groß sind.

fA1,μ1,σ1=fA2,μ2,σ2 A112πσ1eμ1x22σ12=A212πσ2eμ2x22σ22 A1σ2A2σ1eμ1x22σ12=eμ2x22σ22 A1σ2A2σ1=eμ2x22σ22+μ1x22σ12

Anwendung der log-Funktion eliminiert die e-Funktion.

logA1σ2A2σ1=μ2x22σ22+μ1x22σ12

Nach ein paar elementaren Umformungen gelangt man zu einer quadratischen Gleichung.

x2+2xσ12μ2σ22μ1σ22σ12=2σ12σ22logA1σ2A2σ1+σ12μ22σ22μ12σ22σ12

Die obige Gleichung lässt sich gut mit der quadratischen Ergänzung lösen. Dazu addiert man auf beiden Seiten einen quadratischen Term, so dass auf der linken Seite eine binomische Formel entsteht.

x2+2xσ12μ2σ22μ1σ22σ12+σ12μ2σ22μ1σ22σ122=2σ12σ22logA1σ2A2σ1+σ12μ22σ22μ12σ22σ12+σ12μ2σ22μ1σ22σ122 x+σ12μ2σ22μ1σ22σ122=2σ12σ22logA1σ2A2σ1+σ12μ22σ22μ12σ22σ12+σ12μ2σ22μ1σ22σ122

Jetzt nur noch die rechte Seite etwas zusammenfassen und auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Dabei ist nur der positive Wurzelterm interessant ( da die Verteilung mit dem Index 2 rechts von der mit dem Index 1 liegt).
Das Endergebnis lautet:

x=σ22μ1σ12μ2+σ1σ2μ1μ22+2σ22σ12logA1σ2A2σ1σ22σ12

Viel Spaß damit! =)


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