Durch die Erde mit Gravitationsantrieb

Man stelle sich einen langen geraden Tunnel z.B. von Paris nach Moskau vor. Würde man an einem Ende des Tunnels einen Zug (oder ein anderes Transportmittel) hinstellen, so würde er durch die Schwerkraft immer weiter in den Tunnel hinein beschleunigt. Ab der Mitte des Tunnels würde der Zug abbremsen, so dass er am anderen Ende zum Stillstand käme.

Wie lange würde solch eine Reise dauern? Wie groß wären die Geschwindigkeiten?
Um diese Fragen zu beantworten, schauen wir uns das Problem von der physikalischen Seite etwas genauer an.

Die Gravitationskraft die auf eine Masse m wirkt berechnet sich nach Newton wie folgt:

$$F_g\left(r\right)=G\frac{M\left(r\right)m}{r^2}$$

Befindet sich der Zug bereits unter der Erde, so kann man die Erdkugel in zwei Teile unterteilen: eine Kugel die unter dem Zug ist und eine Kugelschale ab der Position des Zuges bis zum Erdradius. Die Kugelschale hat keinen Einfluss auf den Zug, weil von ihr ausgehende Gravitationskräfte sich gegenseitig aufheben. Wichtig ist nur die Masse M(r) der Erdkugel unter dem Zug (wie gehen von einer homogenen Dichte aus).

$$F_g\left(r\right)=G\frac{Mm}{R^3}r$$

Aus der Zeichnung wird deutlich, dass die Gravitationskraft nicht in die Fahrtrichtung, sondern zum Erdmittelpunkt wirkt. Um die beschleunigende Kraft zu berechnen, muss noch ein Winkel berücksichtigt werden.

$$F_z=\sin \left(\alpha \right)F_g$$

$$\sin \left(\alpha \right)=\frac{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$l$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}–x}{r}$$

Damit haben wir einen Ausdruck für die Kraft, die in die Fahrrichtung wirkt.

$$F_z=G\frac{mM}{R^3}\left(\frac{l}{2}–x\right)$$

Gleichsetzen mit der Newtonschen Kraftformel F=ma, führt zu einer Bewegungsgleichung.

$$\ddot{x}=\frac{GM}{R^3}\left(\frac{l}{2}–x\right)$$

Diese Gleichung lässt sich durch folgenden Ansatz mit Konstanten A,ω und C lösen.

$$x\left(t\right)=A\cos \left(\omega t\right)+C$$

Durch Nachrechnen bekommt man schließlich die Ortsgleichung.

$$x\left(t\right)=\frac{l}{2}\left(1–\cos \left(\omega t\right)\right)$$

Die Konstante ω hat die Bedeutung der Kreisfrequenz und wird in diesem Fall wie folgt berechnet:

$$\omega =\sqrt{\frac{GM}{R^3}}$$

Daraus lässt sich sofort die Periode der Schwingung berechnen. Die Fahrzeit in eine Richtung entspricht halber Periode.

$$T=\frac{2\pi }{\omega }$$

$$T=2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$$

Aus dieser Lösung lassen einige interessante Aussagen gewinnen. So ist die Fahrzeit weder von der Masse des Zuges, noch von der Tiefe und der Länge des Tunnels abhängig. Mit anderen Worten es ist egal, ob man der Tunnel so anlegt wird, dass er 50 km oder 1000 km entfernte Städte verbindet – die Fahrzeit bleibt gleich. Doch wie groß ist sie?
Wir setzen die bekannten Größen in die Gleichung ein.

$$T=2\pi \sqrt{\frac{(6360·{10}^3 \mathrm{m}{)}^3}{6.6738·{10}^{–11} {\displaystyle \frac{\mathrm{N} {\mathrm{m}}^2}{\mathrm{kg}}} 5.974·{10}^{24} \mathrm{kg}}}$$

Das Ergebnis lautet T=84,12 Minuten, d.h. die Fahrzeit in eine Richtung beträgt 42 Minuten.
Man stelle sich nur vor: Frankfurt-New York in 42 Minuten! Moment mal, mehrere Tausend Kilometer in 42 Minuten? Wie schnell wäre man da unterwegs?

Um die Geschwindigkeit des Zuges zu berechnen muss man die Ortsfunktion nach Zeit ableiten.

$$v\left(t\right)=\frac{l\omega }{2}\sin \left(\omega t\right)$$

Man sieht, dass in der Gleichung die Länge des Tunnels auftaucht. Je länger der Tunnel, desto höher die Geschwindigkeit.

Betrachtet man einen Tunnel durch den Erdmittelpunkt (auch wenn nicht technisch umsetzbar), so würde ein Zug darin eine Spitzengeschwindigkeit von 28500 km/h erreichen. Bei einem 1000 km Tunnel wären es immerhin noch knapp 4500 km/h. Natürlich sind es alles Geschwindigkeiten, die unter realen Bedingung aufgrund des Luftwiderstandes nicht zu erreichen sind (hier habe ich ihn nicht berücksichtigt). Real wäre also auch die Reisedauer von der Tunnellänge abhängig. Zusätzlich müsste man auch viel mehr Energie aufwenden, um den Zug zum Ziel zu bringen, da weniger kinetischer Energie ab dem Mittelpunkt zur Verfügung steht. Über den Bau eines Tunnels im flüssigen Magma will ich gar nicht reden. Alles Punkte, die den Gravitationszug auf der Erde nicht besondern attraktiv machen. Anders sieht es aber zum Beispiel auf dem Mond oder anderen geologisch inaktiven Himmelskörpern ohne Atmosphäre aus. In weiter Zukunft könnten auf diese Weise weit von einander entfernte Mondstationen verbunden werden.

Eine weite Bekanntheit hat das Konzept des Gravitationszuges durch den Film „Total Recall“ erfahren. Dort heißt das Gefährt „the fall“ bzw. „der Fall“. Darüber werde ich aber ein anderes Mal etwas schreiben. ;)