Kurvenintegral 1. Art berechnen

Im Folgenden möchte ich erklären, wie man Kurvenintegrale der ersten Art berechnet.

Haben wir eine stetige skalare Funktion f und eine mindestens ein mal stetig differenzierbare Kurve ω(t) in parametrisierter Form gegeben, so berechnet sich das Kurvenintegral von f entlang der Kurve ω(t) wie folgt:

$${\int }_{\omega }f ds={\int }_a^{b}f\left(\omega \left(t\right)\right)\left|\frac{d\omega \left(t\right)}{dt}\right|dt$$

Was zunächst kompliziert aussieht, ist eine einfache „Schema F“-Vorschrift.
Falls nicht bereits vorgegeben, müssen folgende Punkte abgehandelt werden:

1. Parametrisierung der Kurve ω(t) bestimmen (z.B. aus einer Zeichnung ablesen).
2. Integrationsgrenzen a und b bestimmen, so dass ω(a) und ω(b) den Start- und den Endpunkt der Kurve beschreiben.
3. ω(t) nach t ableiten und davon den Betrag berechnen.
4. Komponenten von ω(t) in f einsetzen (ersten Eintrag als x, zweiten als y, …).
5. Alle Teilergebnisse in einem Integral zusammenfassen und das Integral ausrechnen.

Beispiel.

Es ist eine skalares Feld f(x,y) = x²+2y²x gegeben. Berechnen Sie das Integral entlang der Kurve ω(t)=(4t,3t) zwischen den Punkten (-4,-3) und (4,3).

Anschaulich sieht es folgendermaßen aus (z=f(x,y)).

Wir suchen also die Fläche, die die Kurve (schwarz im Bild) mit der z-Achse einschließt.

Die Parametrisierung der Kurve ist uns gegeben, also müssen wir die Grenzen für das Integrationsintervall bestimmen.
Für den ersten Punkt muss gelten (4t,3t) = (-4,-3) oder anders geschrieben: 4t=-4 und 3t=-3. Das heißt für den ersten Punkt muss t=-1 sein.
Für den zweiten Punkt gilt (4t,3t) = (4,3), also ist die zweite Grenze t=1.

Als nächstes berechnen wir die Ableitung von ω(t). Dazu wird jede Komponente nach t abgeleitet.

$$\frac{d}{dt}\omega \left(t\right)=\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}4t\\ 3t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{d}{dt}4t\\ \frac{d}{dt}3t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$$

Der Betrag von d/dt ω(t) ist einfach der Betrag des Vektors.

$$\left|\frac{d}{dt}\omega \left(t\right)\right|=\sqrt{4^2+3^2}=5$$

Wir setzen ω(t) in f ein.

$$f\left(\omega \left(t\right)\right)={\left(4t\right)}^2+2{\left(3t\right)}^{2}4t=16t^2+72t^3$$

Damit haben wir alle Teilergebnisse und können das Integral berechnen.

$${\int }_{–1}^1(16t^2+72t^3)5dt$$

$$=40{\overline{)\left(\frac{2}{3}{t}^3+\frac{9}{4}{t}^4\right)}}_{–1}^1=\frac{160}{3}\approx 53.3$$

Viel Spaß damit! :)