Archiv für das Tag 'Mathematik'

Ein Seil um die Erde

seil um die erde 2

Man stelle sich vor, man umspannt mit einem Seil die ganze Erde. Dabei wird das Seil straff gehalten, so dass es direkt auf der OberflĂ€che liegt. Jetzt schneidet man das Seil durch, verlĂ€ngert es um einen Meter und verbindet die beiden Enden wieder. Wenn man jetzt versucht das Seil an jeder Stelle um den Globus herum gleichzeitig hochzuheben, wie hoch kommt man dann? Ohne nachzurechnen… Weiterlesen

Herleitung der pq-Formel

Ich muss gestehen, dass ich nicht weiß wie die pq-Formel lautet bzw. ich vergesse sie stĂ€ndig. Das liegt wohl daran, dass ich sie in der Schule nie wirklich gelernt habe. Wie habe ich dann quadratische Gleichungen gelöst? Mit quadratischer ErgĂ€nzung. Damit bin ich immer gut zurecht gekommen, weil diese Lösungsmethode fĂŒr mich logischer erschien als irgendwelche vorgegebenen Formeln zu verwenden. Neulich habe ich mit einem… Weiterlesen

Berechnung von Determinanten einer 2×2, 3×3, 4×4 und nxn-Matrix

3x3 Determinante

Eine Determinante ist eine Zahl die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird. Mit Hilfe einer Determinante kann man einiges ĂŒber die Eigenschaften einer Matrix aussagen. Determinante einer 2×2-Matrix: Dieser Fall ist besonders simpel: detabcd=ad-bc Beispiel: det2-351=2*1–3*5=17 Determinante einer 3×3 Matrix: Um diese Berechnungsformel nicht merken zu mĂŒssen gibt es eine Berechnungshilfe. Man schreibt die ersten beiden Spalten hinter die Matrix. Danach kann man die Regel von… Weiterlesen

Lösen linearer Gleichungssysteme mit Gauß-Jordan-Algorithmus

In der Schule lernt man einige Verfahren zum Lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS). Jeder hat schon mal von Einsetzungsverfahren gehört, aber nur wenige von Gauß-Jordan-Algorithmus. Damit lĂ€sst sich ein LGS meistens schneller lösen als mit herkömmlichen Lösungsverfahren. Zudem spart man sich damit einiges an Schreibarbeit und macht folglich weniger Fehler, denn jeder weiß, dass je lĂ€nger die Rechnung ist, um so mehr Fehler sich einschleichen…. Weiterlesen

Abstand berechnen: Punkt – Punkt

Abstand zwischen zwei Punkten

Abstandsberechnung zwischen zwei Punkten ist eine Grundvoraussetzung fĂŒr das VerstĂ€ndnis zur Berechnung von AbstĂ€nden zwischen zweier Geraden oder einer Gerade und einer Ebene. Ich werde hier mit einen Herleitung zeigen, dass es gar nicht so schwer ist. Eine typische Aufgabenstellung lautet: Berechnen Sie den Abstand zwischen den Punkten A(2|4) und B(5|1). Eingezeichnet in ein kartesisches Koordinatensystem sieht es so aus: Man sucht also die Strecke… Weiterlesen

Basistransformationsmatrix berechnen

Eine Matrix

Es sei gegeben ein Vektor bezogen auf eine Basis z.B. Standardbasis und man möchte diesen Vektor in eine andere Basis, sagen wir ĂŒberfĂŒhren. Wie geht man dabei vor? Man versucht jeden einzelnen Vektor der Basis A durch eine Linearkombination aus den Vektoren der Basis B darzustellen. Dadurch bekommt man drei lineare Gleichungssysteme: Man löst diese drei LGS einzeln und schreibt die Koeffizienten spaltenweise in eine… Weiterlesen

Mathematik fĂŒr Spieleprogrammierer: Vektoren

Inhalt Einleitung Vorraussetzung Kartesisches Koordinatensystem     Zeichnen Vom Punkt zum Vektor Betrag(LĂ€nge) eines Vektors Rechnen mit Vektoren     Addieren     Subtrahieren     Multiplizieren     Dividieren Besondere Vektoren     Nullvektor     Einheitsvektor     Basisvektoren Skalarprodukt     Herleitung     Anwendung Kreuzprodukt     Herleitung Fazit Quellen Einleitung. Was ist ein Vektor? Diese Frage stellt sich frĂŒher oder spĂ€ter jedem, der etwas mit Spieleprogrammierung zu tun hat. Viele schlaue BĂŒcher und Artikel im Internet versuchen es zu erklĂ€ren und viele… Weiterlesen

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