Archiv für das Tag 'matrix'



Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen

Eigenwertgleichung

Ob in der Physik für Differentialgleichungen, in Mathematik für Basistransformationen oder Informatik für Bildbearbeitung, früher oder später kommt jeder MINT-Student mit dem Thema Eigenwert-Rechnung in Berührung. Das ist auch kein Wunder, denn dies ist ein fundamentales Konzept der Linearen Algebra. Im folgenden möchte ich zeigen wie man Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet. Zuerst schauen wir uns an, was eine Eigenwertgleichung ist und wie ihre Komponenten bezeichnet… Weiterlesen

Matrix invertieren in C++

Eine Matrix

Wie man eine Matrix mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus invertiert habe ich bereits gezeigt. Nun habe ich versucht den vorgestellten Algorithmus in C++ umzusetzen. Als Ergebnis kam eine überschaubare Funktion mit einer Hilfsfunktion um zwei Zeilen in einer Matrix zu vertauschen. Ich habe die Funktion mit ein paar Matrizen ausprobiert und die Implementierung scheint zu funktionieren. Weitere Tests wären aber trotzdem zu empfehlen. Wie schnell die… Weiterlesen

Matrix invertieren mit Gauß-Jordan-Algorithmus

Eine Matrix

Im Folgenden möchte ich zeigen, wie man eine Matrix mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus invertiert. Zuerst ist zu klären, was eine inverse Matrix ist. Ist eine Matrix A gegeben, so nennt man die Matrix B die Inverse der Matrix A, wenn gilt AB=E, wobei E die Einheitsmatrix ist. Man bezeichnet B mit A-1. Grundsätzlich sind nur quadratische Matrizen invertierbar und das auch nur unter der Bedingung,… Weiterlesen

Berechnung von Determinanten einer 2×2, 3×3, 4×4 und nxn-Matrix

3x3 Determinante

Eine Determinante ist eine Zahl die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird. Mit Hilfe einer Determinante kann man einiges über die Eigenschaften einer Matrix aussagen. Determinante einer 2×2-Matrix: Dieser Fall ist besonders simpel: detabcd=ad–bc Beispiel: det2–351=2*1––3*5=17 Determinante einer 3×3 Matrix: Um diese Berechnungsformel nicht merken zu müssen gibt es eine Berechnungshilfe. Man schreibt die ersten beiden Spalten hinter die Matrix. Danach kann man die Regel von… Weiterlesen

Lösen linearer Gleichungssysteme mit Gauß-Jordan-Algorithmus

In der Schule lernt man einige Verfahren zum Lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS). Jeder hat schon mal von Einsetzungsverfahren gehört, aber nur wenige von Gauß-Jordan-Algorithmus. Damit lässt sich ein LGS meistens schneller lösen als mit herkömmlichen Lösungsverfahren. Zudem spart man sich damit einiges an Schreibarbeit und macht folglich weniger Fehler, denn jeder weiß, dass je länger die Rechnung ist, um so mehr Fehler sich einschleichen…. Weiterlesen

Basistransformationsmatrix berechnen

Eine Matrix

Es sei gegeben ein Vektor bezogen auf eine Basis z.B. Standardbasis und man möchte diesen Vektor in eine andere Basis, sagen wir überführen. Wie geht man dabei vor? Man versucht jeden einzelnen Vektor der Basis A durch eine Linearkombination aus den Vektoren der Basis B darzustellen. Dadurch bekommt man drei lineare Gleichungssysteme: Man löst diese drei LGS einzeln und schreibt die Koeffizienten spaltenweise in eine… Weiterlesen