Ein Seil um die Erde



Man stelle sich vor, man umspannt mit einem Seil die ganze Erde. Dabei wird das Seil straff gehalten, so dass es direkt auf der OberflÀche liegt.
Jetzt schneidet man das Seil durch, verlÀngert es um einen Meter und verbindet die beiden Enden wieder.
Wenn man jetzt versucht das Seil an jeder Stelle um den Globus herum gleichzeitig hochzuheben, wie hoch kommt man dann?
seil um die erde
Ohne nachzurechnen wĂŒrde man wohl vermuten, dass man höchstens ein paar Millimeter hoch kommt, da das Seil doch so lang ist und ein weiterer Meter kaum eine Rolle spielt. Die richtige Antwort ist aber viel verblĂŒffender.

Das Seil hat zunĂ€chst eine LĂ€nge von U1=2πR mit Kugelradius R.
Die LĂ€nge wird um einen Meter erhöht, also U2 = 2πr = U1+1m.
Die Differenz zwischen r und R ergibt die gesuchte Höhe h.
Wir setzen die erste Gleichung in die zweite ein.
2πR + 1m = 2πr
2π(r-R) = 1m
r-R = h = \frac{1m}{2\pi}
h= 0.159m

Das heißt das Seil kann um 16cm von der ErdoberflĂ€che hoch gehoben werden. Unglaublich oder?! Was noch verwunderlicher ist, dass diese Höhe vom Radius unabhĂ€ngig ist. Egal ob man eine Erbse oder ein Stern nimmt – h betrĂ€gt immer 16cm.

Wie hoch kann man das Seil hoch heben, wenn man nur an einer Stelle hochzieht?
Hier ist das Problem nicht ganz so trivial bzw. sogar analytisch nicht lösbar.
Aus der Zeichnung sieht, dass kÂČ + RÂČ = (R+h)ÂČ ist.
Durch umformen kommt man auf k=\sqrt{2Rh+h^2}.
seil um die erde 2
Das Problem besteht jetzt darin k zu bestimmen.
Die LĂ€nge des Seils ist 2*k plus dem unteren Kreissektor z, der dem Kreisumfang ohne den beiden Kreissektoren s entspricht, also L=2k+z = 2k+U-2s.
Gleichzeitig ist die LÀnge des Seils aber auch der Kreisumfang mit einem zusÀtzlichen Meter, also L=U+1m. Wir können die beiden Gleichungen gleichsetzen:
2k+U-2s = U+1m
k = s + 0.5m

Man setzt das k in k=\sqrt{2Rh+h^2} ein und bekommt s=\sqrt{2Rh+h^2} - 0.5m raus.
Der Kreisbogen s ist definiert als s=R*ξ (ξ heißt Theta).
Aus der Zeichnung sieht man, dass cos(Ξ)*(R+h) = R ist. Umformen nach Theta und einsetzen in den Kreisbogen ergibt s=R*arccos(\frac{R}{R+h}).

Jetzt können beide Gleichung mit dem Kreisbogen gleichsetzt werden
R*arccos(\frac{R}{R+h}) = \sqrt{2Rh+h^2} - 0.5m
seil um die erde plot
Die Gleichung hÀngt nur von R und h ab, wobei h gesucht ist. Das Problem ist, dass diese Gleichung wegen dem h im Argument von Arkuskosinus nicht auflösbar ist. Man kann sie nur nummerisch lösen.

Ich habe mit Mathematica einen Funktionsgraphen erstellt. Auf der x-Achse ist der Kreisradius und auf der y-Achse die Seilhöhe h aufgetragen.

Laut dem Funktionsplot wĂŒrde die Höhe h beim Erdradius (~6378000m) ungefĂ€hr 120m entsprechen.
Abgefahren oder?

Mathematik kann so schön sein…die Betonung liegt auf kann :D




8 Kommentare zu “Ein Seil um die Erde”

  1. Sumitam 28. August 2010 um 20:59 Uhr

    Tag auch

    Zum ersten Teil: Nachdem man das Seil verlÀngert hat ist es wieder zusammen oder? ein geschlossener Kreis. Und dann 16cm? Wow.
    Aber das andre verstehe ich nicht so ganz. Du sagst r ist egal. Du meinst aber sicherlich nicht, dass man es dann auch immer um 1m verlĂ€ngert oder? Bei ner erbse mit faden drum und dann +1m faden – das wĂ€ren etwas mehr wie 16cm, oder?

    Außerdem: An einer Stelle lĂ€sst sich das um 1m verlĂ€ngerte Seil 120m hoch heben wĂ€hrend man es mit der LĂ€nge minus 1m garnicht hochheben kann? Ernsthaft? Ich glaub ich stehe aufm Schlauch! Ich steh auf solche verblĂŒffenden Rechenbeispiele und bitte deshalb mit großen Augen um ErklĂ€rung :-)

    GrĂŒĂŸe
    Sumit

  2. Maximam 29. August 2010 um 12:06 Uhr

    Hi!
    Das Seil wird um 1m verlÀngert und dann wieder zusammen gebunden.
    Doch ich meine es so. Egal ob man den Faden um die Erbe oder um ein Stern um 1m erweitert, man bekommt immer 16cm raus. Man kann es auch an der Rechnung sehen, dass da dort kein Radius in der Endformel auftaucht. Es ist praktisch eine Konstante.
    Zum zweiten Rechnung: Wenn man das Seil um einen Meter verkĂŒrzt, dann mĂŒsste man es 16cm tief in die Erde eingraben, damit man das Seil wieder zusammen binden kann.
    Aber ansonsten ist es schon richtig, man muss auf einen Berg klettern um das um 1m verlÀngerte Seil wieder straff zu ziehen ;)
    Hier ist die Höhe aber von der KugelgrĂ¶ĂŸe abhĂ€ngig, was man an dem Verlauf des Funktionsgraphen sieht.

    Ich war selbst etwas verwundert, aber die Mathematik lĂŒgt nicht ^^

  3. Benedictam 11. Januar 2012 um 18:19 Uhr

    Weiß nich ob ich mich in bisschen arg blöd anstelle :D
    Aber wie genau komme ich von r*cos^-1(r/r+h)=(Wurzel 2rh+h^2)-0.5 zu diesem Schaubild?

  4. Maximam 11. Januar 2012 um 18:49 Uhr

    Das macht Mathematica automatisch. Im Prinzip lĂ€uft es so ab: Man nimmt ein R (x-Achse) und verĂ€ndert dann h so lange bis die beiden Seiten der Gleichung ĂŒbereinstimmen. Wenn das der Fall ist, dann trĂ€gt man im Koordinatensystem die beiden GrĂ¶ĂŸen R und h ein. Dann beginnt man mit dem neuen R.

  5. Benedictam 11. Januar 2012 um 20:26 Uhr

    Okay vielen dank :D habe das Thema als gfs und das alles hat mir sehr geholfen :D

  6. Saraam 7. Mai 2013 um 17:18 Uhr

    hey,
    könntest du nochmal erklÀren warum genau die gleichung jetzt nicht numerisch lösbar ist? ich versteh das nicht so ganz o_O
    lg sara

  7. Maximam 7. Mai 2013 um 17:34 Uhr

    Hallo Sara.
    Das liegt an dem Arccos(). Eigentlich möchte man nach h umstellen, aber das h steht außerhalb von Arccos und drin.
    Also ein einfaches Beispiel: h*Arccos(h) = R. Probiere doch das h aus dem Arccos(h) rauszuholen. Um ein Argument aus Arccos rauszuholen muss man Cos anwenden, aber das macht hier keinen Sinn. BegrĂŒndung:
    h*Arccos(h) = R
    Arccos(h) = R/h
    Jetzt Cos anwenden.
    Cos(Arccos(h)) = Cos(R/h)
    h= Cos(R/h)
    Jetz steckt das h in Cos und außerhalb. Wenn man jetzt mĂŒsste man Arccos anwenden, aber dann kommt man wieder zu der ursprĂŒnglichen Gleichung.

  8. Saraam 7. Mai 2013 um 18:04 Uhr

    danke, ich glaube ich verstehs :) du hast mir sehr geholfen, danke nochmal
    lg sara

Trackback URI | Kommentare als RSS

Einen Kommentar schreiben

XHTML: Du kannst folgende Tags verwenden: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong> <sub> <sup>

Hinweis: Ich behalte mir das Recht vor solche Kommentare, die Beleidigungen oder rechtswidrige Inhalte beinhalten erst nach einer Editierung freizugeben oder kommentarlos zu löschen. Ähnliches gilt auch für Kommentare die offensichtlich nur der Suchmaschinenoptimierung dienen.