Man stelle sich vor, man umspannt mit einem Seil die ganze Erde. Dabei wird das Seil straff gehalten, so dass es direkt auf der Oberfläche liegt.
Jetzt schneidet man das Seil durch, verlängert es um einen Meter und verbindet die beiden Enden wieder.
Wenn man jetzt versucht das Seil an jeder Stelle um den Globus herum gleichzeitig hochzuheben, wie hoch kommt man dann?
Ohne nachzurechnen würde man wohl vermuten, dass man höchstens ein paar Millimeter hoch kommt, da das Seil doch so lang ist und ein weiterer Meter kaum eine Rolle spielt. Die richtige Antwort ist aber viel verblüffender.
Das Seil hat zunächst eine Länge von U1=2πR mit Kugelradius R.
Die Länge wird um einen Meter erhöht, also U2 = 2πr = U1+1m.
Die Differenz zwischen r und R ergibt die gesuchte Höhe h.
Wir setzen die erste Gleichung in die zweite ein.
2πR + 1m = 2πr
2π(r-R) = 1m
[math]r-R = h = \frac{1m}{2\pi}[/math]
h= 0.159m
Das heißt das Seil kann um 16cm von der Erdoberfläche hoch gehoben werden. Unglaublich oder?! Was noch verwunderlicher ist, dass diese Höhe vom Radius unabhängig ist. Egal ob man eine Erbse oder ein Stern nimmt – h beträgt immer 16cm.
Wie hoch kann man das Seil hoch heben, wenn man nur an einer Stelle hochzieht?
Hier ist das Problem nicht ganz so trivial bzw. sogar analytisch nicht lösbar.
Aus der Zeichnung sieht, dass k² + R² = (R+h)² ist.
Durch umformen kommt man auf [math]k=\sqrt{2Rh+h^2}[/math].
Das Problem besteht jetzt darin k zu bestimmen.
Die Länge des Seils ist 2*k plus dem unteren Kreissektor z, der dem Kreisumfang ohne den beiden Kreissektoren s entspricht, also L=2k+z = 2k+U-2s.
Gleichzeitig ist die Länge des Seils aber auch der Kreisumfang mit einem zusätzlichen Meter, also L=U+1m. Wir können die beiden Gleichungen gleichsetzen:
2k+U-2s = U+1m
k = s + 0.5m
Man setzt das k in [math]k=\sqrt{2Rh+h^2}[/math] ein und bekommt [math]s=\sqrt{2Rh+h^2} – 0.5m[/math] raus.
Der Kreisbogen s ist definiert als s=R*θ (θ heißt Theta).
Aus der Zeichnung sieht man, dass cos(θ)*(R+h) = R ist. Umformen nach Theta und einsetzen in den Kreisbogen ergibt [math]s=R*arccos(\frac{R}{R+h})[/math].
Jetzt können beide Gleichung mit dem Kreisbogen gleichsetzt werden
[math] R*arccos(\frac{R}{R+h}) = \sqrt{2Rh+h^2} – 0.5m[/math]
Die Gleichung hängt nur von R und h ab, wobei h gesucht ist. Das Problem ist, dass diese Gleichung wegen dem h im Argument von Arkuskosinus nicht auflösbar ist. Man kann sie nur nummerisch lösen.
Ich habe mit Mathematica einen Funktionsgraphen erstellt. Auf der x-Achse ist der Kreisradius und auf der y-Achse die Seilhöhe h aufgetragen.
Laut dem Funktionsplot würde die Höhe h beim Erdradius (~6378000m) ungefähr 120m entsprechen.
Abgefahren oder?
Mathematik kann so schön sein…die Betonung liegt auf kann :D
Tag auch
Zum ersten Teil: Nachdem man das Seil verlängert hat ist es wieder zusammen oder? ein geschlossener Kreis. Und dann 16cm? Wow.
Aber das andre verstehe ich nicht so ganz. Du sagst r ist egal. Du meinst aber sicherlich nicht, dass man es dann auch immer um 1m verlängert oder? Bei ner erbse mit faden drum und dann +1m faden – das wären etwas mehr wie 16cm, oder?
Außerdem: An einer Stelle lässt sich das um 1m verlängerte Seil 120m hoch heben während man es mit der Länge minus 1m garnicht hochheben kann? Ernsthaft? Ich glaub ich stehe aufm Schlauch! Ich steh auf solche verblüffenden Rechenbeispiele und bitte deshalb mit großen Augen um Erklärung :-)
Grüße
Sumit
Hi!
Das Seil wird um 1m verlängert und dann wieder zusammen gebunden.
Doch ich meine es so. Egal ob man den Faden um die Erbe oder um ein Stern um 1m erweitert, man bekommt immer 16cm raus. Man kann es auch an der Rechnung sehen, dass da dort kein Radius in der Endformel auftaucht. Es ist praktisch eine Konstante.
Zum zweiten Rechnung: Wenn man das Seil um einen Meter verkürzt, dann müsste man es 16cm tief in die Erde eingraben, damit man das Seil wieder zusammen binden kann.
Aber ansonsten ist es schon richtig, man muss auf einen Berg klettern um das um 1m verlängerte Seil wieder straff zu ziehen ;)
Hier ist die Höhe aber von der Kugelgröße abhängig, was man an dem Verlauf des Funktionsgraphen sieht.
Ich war selbst etwas verwundert, aber die Mathematik lügt nicht ^^
Weiß nich ob ich mich in bisschen arg blöd anstelle :D
Aber wie genau komme ich von r*cos^-1(r/r+h)=(Wurzel 2rh+h^2)-0.5 zu diesem Schaubild?
Das macht Mathematica automatisch. Im Prinzip läuft es so ab: Man nimmt ein R (x-Achse) und verändert dann h so lange bis die beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen. Wenn das der Fall ist, dann trägt man im Koordinatensystem die beiden Größen R und h ein. Dann beginnt man mit dem neuen R.
Okay vielen dank :D habe das Thema als gfs und das alles hat mir sehr geholfen :D
hey,
könntest du nochmal erklären warum genau die gleichung jetzt nicht numerisch lösbar ist? ich versteh das nicht so ganz o_O
lg sara
Hallo Sara.
Das liegt an dem Arccos(). Eigentlich möchte man nach h umstellen, aber das h steht außerhalb von Arccos und drin.
Also ein einfaches Beispiel: h*Arccos(h) = R. Probiere doch das h aus dem Arccos(h) rauszuholen. Um ein Argument aus Arccos rauszuholen muss man Cos anwenden, aber das macht hier keinen Sinn. Begründung:
h*Arccos(h) = R
Arccos(h) = R/h
Jetzt Cos anwenden.
Cos(Arccos(h)) = Cos(R/h)
h= Cos(R/h)
Jetz steckt das h in Cos und außerhalb. Wenn man jetzt müsste man Arccos anwenden, aber dann kommt man wieder zu der ursprünglichen Gleichung.
danke, ich glaube ich verstehs :) du hast mir sehr geholfen, danke nochmal
lg sara