Im Folgenden möchte ich zeigen, wie man eine Matrix mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus invertiert.
Zuerst ist zu klären, was eine inverse Matrix ist.
Ist eine Matrix A gegeben, so nennt man die Matrix B die Inverse der Matrix A, wenn gilt AB=E, wobei E die Einheitsmatrix ist. Man bezeichnet B mit A-1.
Grundsätzlich sind nur quadratische Matrizen invertierbar und das auch nur unter der Bedingung, dass die Determinante nicht Null ist. Mit anderen Worten: ist det(A)=0, so ist die Matrix A nicht invertierbar.
Nehmen wir an, wir haben eine quadratische Matrix A mit det(A)≠0 gegeben.
Um die Inverse von A zu berechnen, schreibt man rechts neben der Matrix A die Einheitsmatrix von der gleichen Größe hin.
(A|E)
Jetzt wendet man auf das entstandene Gleichungssystem den Gauß-Jordan-Algorithmus an. Am Ende steht auf der linker Seite die Einheitsmatrix E und auf der rechten die Inverse A-1.
(E|A-1)
Um zu überprüfen, ob das Ergebnis richtig ist benutzt man die Definition und berechnet A·A-1. Ist A·A-1=E, so ist das Ergebnis richtig.
Betrachten wir zwei Beispiele.
Beispiel 1.
Gegeben ist eine quadratische Matrix A.
Die Determinante dieser Matrix ist -3. Somit ist die Matrix invertierbar.
Wir schreiben die Einheitsmatrix rechts daneben.
Jetzt wird auf die linke Seite so lange umgeformt bis dort eine Einheitsmatrix steht.
Z1 → 3Z1
Z2 → 2Z2
Z3 → 6Z3
Z2 → Z2 – Z1
Z3 → Z3 – Z1
Z3 → Z3 + 3Z2
Z3 → Z3/6
Z1 → Z1 – 9Z3
Z2 → Z2 + Z3
Z1 → Z1 + 7Z2
Z1 → Z1/6
Z2 → Z2/(-3)
Damit gilt:
Beispiel 2.
Die Determinante ist -10, damit ist die Matrix invertierbar.
Z2 → Z2 + 2Z1
Z2 → Z2/2
Z3 → Z3 – Z2
Z3 → Z3/(-5)
Z2 → Z2 + 3Z3
Z1 → Z1 + 3Z3
Damit gilt:
Viel Spaß damit! :)
Gute Erklärung. Vielen Dank hierfür.
Aber Achtung:
Im ersten Beispiel ist denke ich ein kleiner Fehler.
Im letzten schritt wird Z2 → Z2/(-3) berechnet. Hier müsste dann in der Invertierten Matrix nicht -5/3 sondern -5/-3 also 5/3 stehen. Die Minuszeichen heben sich hier auf. Dies bitte beachten.
Beste Grüße,
Jägi
Habe den Fehler korrigiert, danke.
Super Erklärung, aber ich meine du hast den dritten Schritt falsch aufgeschrieben, gerechnet hast du aber richtig: (Z3 → Z3 + Z2) steht oben, dort sollte stehen
Z3 → Z3 – Z2 oder nicht?
Beste Grüße, Ski
Danke!
Hi ich nochmal, müsste hier nicht auch jeweils ein Minus stehen Z2 → Z2 + 3Z3
Z1 → Z1 + 3Z3 ??