Matrix invertieren mit Gauß-Jordan-Algorithmus



Im Folgenden möchte ich zeigen, wie man eine Matrix mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus invertiert.

Zuerst ist zu klären, was eine inverse Matrix ist.
Ist eine Matrix A gegeben, so nennt man die Matrix B die Inverse der Matrix A, wenn gilt AB=E, wobei E die Einheitsmatrix ist. Man bezeichnet B mit A-1.

Grundsätzlich sind nur quadratische Matrizen invertierbar und das auch nur unter der Bedingung, dass die Determinante nicht Null ist. Mit anderen Worten: ist det(A)=0, so ist die Matrix A nicht invertierbar.

Nehmen wir an, wir haben eine quadratische Matrix A mit det(A)≠0 gegeben.
Um die Inverse von A zu berechnen, schreibt man rechts neben der Matrix A die Einheitsmatrix von der gleichen Größe hin.

(A|E)

Jetzt wendet man auf das entstandene Gleichungssystem den Gauß-Jordan-Algorithmus an. Am Ende steht auf der linker Seite die Einheitsmatrix E und auf der rechten die Inverse A-1.

(E|A-1)

Um zu überprüfen, ob das Ergebnis richtig ist benutzt man die Definition und berechnet A·A-1. Ist A·A-1=E, so ist das Ergebnis richtig.

Betrachten wir zwei Beispiele.

Beispiel 1.

Gegeben ist eine quadratische Matrix A.

A=273394153

Die Determinante dieser Matrix ist -3. Somit ist die Matrix invertierbar.
Wir schreiben die Einheitsmatrix rechts daneben.

273394153100010001

Jetzt wird auf die linke Seite so lange umgeformt bis dort eine Einheitsmatrix steht.

Z1 → 3Z1
Z2 → 2Z2
Z3 → 6Z3

6219618863018300020006

Z2 → Z2 – Z1
Z3 → Z3 – Z1

6219031099300320306

Z3 → Z3 + 3Z2

62190310063003201266

Z3 → Z3/6

6219031001300320211

Z1 → Z1 – 9Z3
Z2 → Z2 + Z3

62100300012199531211

Z1 → Z1 + 7Z2

60003000114122531211

Z1 → Z1/6
Z2 → Z2/(-3)

1000100017/321/35/311/3211

Damit gilt:

A1=7/321/35/311/3211=13761531633

Beispiel 2.

A=103220012

Die Determinante ist -10, damit ist die Matrix invertierbar.

103220012100010001

Z2 → Z2 + 2Z1

103026012100210001

Z2 → Z2/2

10301301210011/20001

Z3 → Z3 – Z2

10301300510011/2011/21

Z3 → Z3/(-5)

10301300110011/201/51/101/5

Z2 → Z2 + 3Z3
Z1 → Z1 + 3Z3

1000100012/53/103/52/52/103/51/51/101/5

Damit gilt:

A1=2/53/103/52/52/103/51/51/101/5=110436426211

Viel Spaß damit! :)




5 Kommentare zu “Matrix invertieren mit Gauß-Jordan-Algorithmus”

  1. Jägiam 14. Mai 2013 um 10:41 Uhr

    Gute Erklärung. Vielen Dank hierfür.

    Aber Achtung:
    Im ersten Beispiel ist denke ich ein kleiner Fehler.
    Im letzten schritt wird Z2 → Z2/(-3) berechnet. Hier müsste dann in der Invertierten Matrix nicht -5/3 sondern -5/-3 also 5/3 stehen. Die Minuszeichen heben sich hier auf. Dies bitte beachten.

    Beste Grüße,
    Jägi

  2. Maximam 14. Mai 2013 um 11:22 Uhr

    Habe den Fehler korrigiert, danke.

  3. Skiam 8. September 2013 um 16:38 Uhr

    Super Erklärung, aber ich meine du hast den dritten Schritt falsch aufgeschrieben, gerechnet hast du aber richtig: (Z3 → Z3 + Z2) steht oben, dort sollte stehen
    Z3 → Z3 – Z2 oder nicht?
    Beste Grüße, Ski

  4. Maximam 8. September 2013 um 17:51 Uhr

    Danke!

  5. Skiam 8. September 2013 um 18:09 Uhr

    Hi ich nochmal, müsste hier nicht auch jeweils ein Minus stehen Z2 → Z2 + 3Z3
    Z1 → Z1 + 3Z3 ??

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