Physikübung 17: Magnetfeld eines unendlichen Leiters



Aufgabe:
Berechnen Sie das magnetische Feld in Entfernung s von einem sehr langen geraden Draht, durch den ein konstanter Strom I fließt. Nehmen Sie als Idealisierung an, dass der Draht unendlich lang ist.

Integration über einen unendlich langen Leiter

Integration über einen unendlich langen Leiter

Lösung:

Ein möglicher Lösungsweg für diese Aufgabe wurde bereits in der Physikübung 16 vorgestellt. Jetzt versuchen wir die Aufgabe mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes zu lösen.

Das Biot-Savart-Gesetz lautet wie folgt.

B(r)=μ04πI×rrrr3dl Dabei ist I der Stromfluss und dl ein infinitesimales Integrationselement entlang des Stromleiters.

Man könnte versuchen eine Wegintegration von -∞ bis +∞ durchzuführen, dies ist aber relativ schwierig. Leichter ist es die Wegintegration in eine Integration über den Winkel θ von -π/2 bis +π/2 umzuschreiben. Dazu ersetzen wir alle von dem dl-Element abhängigen Terme durch durch Terme mit θ-Abhängigkeit. Bevor wir dies tun, schreiben wir zuerst das Kreuzprodukt um.

Weil uns nur der Betrag des Magnetfeldes interessiert, ersetzen wir das Kreuzprodukt durch dessen Betrag.

B(r)=μ0 I4πeI×e(rr) rrrr3dl Br=μ04πI·rr·sinφrr3dl

Nach der trigonometrischen Beziehung cos(x) = sin(π/2 ± x) kann sin(φ)=cos(π/2+θ) als cos(θ) geschrieben werden.

Br=μ0I4πcos(θ)rr2dl

Betrachtet man in der Abbildung eingezeichnete Dreieck, so kann man zwei Beziehungen ablesen. Die erste ist lautet:

l=tan(θ) s

Um l in Abhängigkeit von θ zu bestimmen, berechnen wir die Ableitung von l nach θ.

dl=scos2(θ) dl=scos2(θ)

Die zweite Beziehung, die wir aus dem Dreieck ablesen ist:

s=cosθrr 1rr2=cos2θs2

Setzen wir diese beide Beziehungen in das Integral, so vereinfacht sich der Ausdruck bis auf das Kosinus.

Br=μ0I4πsπ/2π/2cosθ·cos2θs2·scos2θ Br=μ0I4πsπ/2π/2cosθ  Br=μ0I4πs[sinπ/2sinπ/2] Br=μ0I2πs

Damit haben wir das gleiche Ergebnis, wie in der Physikübung 16 berechnet.

Viel Spaß damit. :)




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