Aufgabe:
Ein Photon werde von einem 12C-Atomkern absorbiert, wobei der Kern innere Anregungsenergie erhält.
Für eine Photonenenergie von 13 MeV erfährt der Kern bei der Absorption wegen Impulserhaltung einen Rückstoßimpuls von 13 MeV/c.
(a) Wie groß ist die kinetische Energie des zurückgestoßenen Kerns?
(b) Wie groß ist die innere Anregungsenergie des Kerns?
(c) Nehmen wir an, der angeregte 12C-Kern würde vollständig abgebremst und zur Ruhe kommen, bevor er sich durch Aussendung eines Photons wieder in den energetisch niedrigsten Zustand abregen möge. Welche Energie hat das emittierte Photon?
Lösung:
(a)
Energie-Impuls Beziehung:
[math]E_{kin}= \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}[/math]
Jetzt geht es nur darum die Werte in richtigen Einheiten einzusetzen. Ich rechne hier alles in SI Einheiten um.
[math] p = \frac{13*10^6}{c} eV = 6.947*10^{-18} \frac{kg m}{s}[/math]
12C Kohlenstoff wiegt 12u:
mK = 1.660538782*10-24kg * 12 = 1,993*10-26kg
Alles einsetzen:
[math] E_{kin} = \frac{(6.947*10^{-21} \frac{kg m}{s})^2}{2*1,993*10^{-26} kg} = 1,211*10^{-15} J = 7,56keV[/math]
(b)
Das ist genau die Differenz zwischen der Energie, die auf das Atom übertragen wurde und der kinetischen Energie des Atoms.
E* = Eγ-Ekin = 13MeV – 7,56keV = 12,992MeV
(c)
Die Energie E* teilt sich auf die Energie des Photonen Eγ und die kinetische Energie des Kohlenstoff Atoms [math]E_{kin}=\frac{p_{K}^2}{2m_{K}}[/math] (K steht für Kohlenstoff) auf.
[math] E_{\gamma} = E^* – \frac{p_{K}^2}{2m_{K}} [/math]
Aus Impulserhaltung folgt pγ= pK.
Zusätzlich ist die Energie des Photons gegeben durch [math] E_{\gamma}^2 = m_{0}^2 c^4 + p_{\gamma}^2 c^2 [/math], wobei die Ruhemasse Null ist, was zur Beziehung Eγ= pγc führt.
Setzt man beide Terme in die obere Gleichung ein, so bekommt man:
[math] E_{\gamma} = E^* – \frac{E_{\gamma}^2}{2m_{K}c^2} [/math]
Umstellen, um die pq-Formel anwenden zu können.
[math] E_{\gamma}^2 + 2m_{K}c^2E_{\gamma} – 2m_{K}c^2E^* = 0[/math]
pq-Formel anwenden.
[math] E_{\gamma} = -\frac{2m_{K}c^2}{2} \pm \sqrt{ \frac{4m_{K}^2c^4}{4} + 2m_{K}c^2E^*}[/math]
Etwas schöner schreiben.
[math] E_{\gamma} = m_{K}c^2 (-1 \pm \sqrt{ 1 + \frac{E^*}{2m_{K}c^2}} )[/math]
Es gibt zwei Lösungen, aber nur die positive ist relevant.
Eγ = 12984 keV