Physikübung 9: Hohlkugel im Wasser



Aufgabe:
Eine Hohlkugel aus Aluminium (ρAl=2700kg/m³) mit einer Wandstärke von 1mm schwimmt im Wasser, wobei 60% ihres Volumens sich unter der Wasseroberfläche befindet.
Welchen Radius hat die Aluminiumkugel?

Hohlkugel im Wasser
Lösung:
Nach dem archimedischen Prinzip ist der Betrag der Gewichtskraft des von der Kugel verdrängten Wasservolumens gleich dem Betrag der Gewichtskraft der Kugel.

Die Gewichtskraft der Kugel entspricht der Masse der Aluminiumschale multipliziert mit der Gravitationsbeschleunigung g=9,81 m/s².
Die Masse der Kugelschale:

mk = ρAl * 4/3 * π * (R³-r³)

Damit lautet die Gleichung für die Gewichtskraft:

Fk = ρAl * 4/3 * π * (R³-r³) * g

Diese Kraft muss gleich der Gewichtskraft des Wasservolumens sein, dass von der Kugel verdrängt wurde. Somit lautet die Gleichung für die Gewichtskraft des Wassers:

Fw = 3/5 * ρw * 4/3 * π * R³ * g

Hier wurde schon berücksichtigt, dass nur 60%, also 3/5 des Volumens der Kugel im Wasser sind.

Da die Kugel schwimmt, müssen beide Kräfte gleich sein, also Fk = Fw.

ρAl * 4/3 * π * (R³-r³) * g = 3/5 * ρw * 4/3 * π * R³ * g

Teilt man durch 4/3, π und g bekommt folgende Gleichung.

ρAl * (R³-r³) = 3/5 * ρw * R³

Man teilt durch R³ und ρAl.

1-r³/R³ = 3/5 * (ρw / ρAl )

Jetzt stellt man nach r/R um.

r/R = ( 1 – 3/5 * (ρw / ρAl))1/3

Wir geben diesem Term aus Übersichtsgründen eine neue Bezeichnung d.
Also

r / R = d = ( 1 – 3/5 * (ρw / ρAl))1/3

Laut der Aufgabenstellung ist bekannt, dass r einen Millimeter kleiner als R ist, also r = R-1mm.
Man setzt r in die obere Gleichung ein.

(R – 1mm)/R = d

Jetzt kann nach R umstellen.

R-1mm = d * R
-1mm = d * R – R
1mm = R(1-d)
R = 1mm / (1-d)

Setzt man jetzt noch den oberen Wert d in die Gleichung ein, so bekommt man einen analytischen Ausdruck für den Radius der Kugel.

R = 1mm / (1-( 1 – 3/5 * (ρw / ρAl))1/3)

Da die Dichte von Aluminium und Wasser bekannt sind, kann man leicht den Radius der Aluminiumkugel berechnen.
R = 12,44mm




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