Zahlensysteme der Informatik 1: Binärsystem

Erst durch das Wissen verschiedener Zahlensysteme kann man verstehen wie ein Computer intern rechnet oder wie bei den verschiedenen Programmiersprachen die Datentypen aufgebaut sind und warum beim Rechnen mit Fließkommazahlen Fehler entstehen.
In dieser Artikelserie werde ich versuchen dieses Wissen zu vermitteln und hoffentlich auch einige Leser für die Informatik begeistern.

Das binäre Zahlensystem ist das wichtigste Zahlensystem in der Informatik. Dieses Zahlensystem verwendet als Basis die Zahl 2. Demnach besteht eine binäre Zahl nur aus zwei verschiedenen Zahlen, die zwei Zustände repräsentieren. Um diese Zustände zu repräsentieren verwendet man meistens Zahlen 1 und 0.

Wie wandelt man eine dezimale Zahl in eine binäre um?

Bevor man diese Frage beantwortet, muss man sich zuerst klar machen, wie das uns vertraute Dezimalsystem funktioniert.

Liest man eine dezimale Zahl von rechts nach links, so repräsentieren die Zahlpositionen die Einser, Zehner, Hunderter und schließlich die Tausender.
Man kann beispielsweise die Zahl 8371 auch als 8·1000 + 3·100 + 7·10 + 1·1 = 8371 schreiben.

Wie man erkennt, sind die Faktoren 1000, 100, 10, 1 alles Potenzen der Basis 10.
8·10³ + 3·10² + 7·10¹ + 1·10⁰ = 8371

Das Schema ist somit klar. Multipliziere jeden einzelnen Zahlenfaktor mit der Zahl 10^{Zahlenposition von rechts} und addiere alle diese Terme auf.

Das binäre Zahlensystem funktioniert analog, man ersetzt nur die Basis 10 durch 2.

Binäre Zahl in eine dezimale umwandeln

Beispiel: 11101

1·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 29

Beispiel : 0101

0·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 0 + 4 + 0 + 1 = 5

Man sollte bei der Berechnung nicht vergessen, dass der Exponent bei 0 und nicht 1 beginnt. Man kann es sich aber immer an dem Dezimalsystem klar machen.

Dezimale Zahl in eine binäre umwandeln (Methode 1)

Dazu gibt es zwei verbreitete Methoden. Die erste setzt voraus, dass man die Potenzen zur Basis 2 kennt. Hier ist eine Tabelle für die ersten 20 Exponenten.

Potenzen zur Basis 2

Exponent	Potenz	Exponent	Potenz	Exponent	Potenz	Exponent	Potenz
0	1	5	32	10	1024	15	32768
1	2	6	64	11	2048	16	65536
2	4	7	128	12	4096	17	131072
3	8	8	256	13	8192	18	262144
4	16	9	512	14	16384	19	524288

Zum Beispiel hat man die Zahl 239 gegeben und möchte sie in binärer Form darstellen.

Man schaut welche größte Zweierpotenz in diese Zahl hineinpasst. In diesem Fall ist es die Zahl 128. Demnach besteht die binäre Zahl aus 8 Stellen und hat folgende Form.

1·2⁷ + x₆·2⁶ + x₅·2⁵ + x₄·2⁴ + x₃·2³ + x₂·2² + x₁·2¹ + x₀·2⁰

Die Zahlen x₆-x₀ werden im Folgenden bestimmt.

Man bildet eine Differenz zwischen dem dezimalen Zahlenwert und allen Potenzen die bereits mit einer 1 markiert sind und schaut ob die nächste Potenz in diese Differenz hineinpassest.

In unserem Fall ist es 239 – 128(=2⁷) = 111.

Die nächste kleinere Potenz(64) passt auch rein, also ist x₆=1.

111-64 = 47 also passt 32 rein. Es folgt x₅=1.

47-32 = 15 Die 16 passt nicht rein, also x₄=0. Dafür passt aber 8 rein, deswegen ist x₃=1.

15-8 = 7 Die 4 passt rein, also x₂=1.
7-4 = 3 Die 2 passt rein, also x₁=1.
3-2=1 Die 1 passt rein, also x₀=1.

Damit ist die Zahl komplett: 11101111

Ein weiteres Beispiel mit der Zahl 70

64 ist die erste Potenz => 1
70-64 = 6
32 passt nicht rein => 0
16 passt nicht rein => 0
8 passt nicht rein => 0
4 passt rein => 1
6-4 = 2
2 passt rein => 1
2-2 = 0
1 passt nicht rein => 0
Die Zahl lautet: 1000110

Kennt man die ersten Zweipotenzen auswendig, so lässt sich die Methode ziemlich schnell im Kopf durchführen.

Dezimale Zahl in eine binäre umwandeln (Methode 2)

Jetzt schauen wir uns die zweite Methode mit dem gleichen Beispielen an.

Man teilt die dezimale Zahl durch 2 und schreibt das ganzzahlige Ergebnis mit dem Rest hin. Danach wiederholt man die obere Operation mit dem ganzzahligen Ergebnis so lange, bis das Ergebnis Null ist. Der Rest der einzelnen Operationen stellt die einzelnen Stellen der binären Zahl dar.

70 / 2 = 35 Rest 0
35 / 2 = 17 Rest 1
17 / 2 = 8 Rest 1
8 / 2 = 4 Rest 0
4 / 2 = 2 Rest 0
2 / 2 = 1 Rest 0
1 / 2 = 0 Rest 1

Der Rest von unten nach oben gelesen ergibt 1000110, was mit der binären Zahl aus der ersten Methode übereinstimmt.

Wertebereich

Wie viele verschiedene Zahlen können durch eine binäre Zahl der Länge N dargestellt werden?
Im dezimalen System ist die Sache ganz klar: N=3 bedeutet 999. Wir zählen zwar bis 999, aber es gibt 1000 Zustände, denn die Null ist auch ein Zustand der mitgezählt werden muss. Mathematisch betrachtet sind es insgesamt 10³ oder allgemein 10^N Zustände, also Basis^N. Der beschriebene Zahlenbereich lautet also [0, 10^N-1].

Beim binären Zahlensystem geht die Betrachtung ganz analog.
Der Zahlenbereich lautet [0, 2^N-1].
Man kann also mit einer binären Zahl der Länge N deutlich weniger Informationen speichern als mit einer dezimalen Zahl. Dies führt dazu, dass die Darstellung großer binärer Zahlen sehr unhandlich wird. Aus diesem Grund wurde das Hexadezimalsystem eingeführt.
Aber dazu später mehr =)