Kinetische Energie nach Newton als nichtrelativistische Näherung

Ein wichtiges Ergebnis der speziellen Relativitätstheorie (SRT) ist die relativistische Energie-Impuls-Beziehung.

$$E^2=m^2{c}^4+p^2{c}^2$$

Diese Gleichung stellt die Energie E eines Objekt mit der Masse m und dem Impuls p in Verbindung (c ist die Lichtgeschwindigkeit).
Betrachtet man diese Gleichung, so kann man drei Fälle unterscheiden.

1) Bewegt sich das Objekt nicht, so ist sein Impuls null (p = 0). Damit verschwindet ein Summand und als Ergebnis ergibt sich wahrscheinlich die berühmteste Gleichung der Welt.

$$E=m{c}^2$$

Sie bedeutet, dass jeder Masse ein Energiegehalt zugeschrieben werden kann und umgekehrt (nicht, wie oft falsch behauptet, dass Masse und Energie dasselbe ist).

2) Ist das betrachtete Objekt masselos (m=0) wie z.B. im Falle eines Photons, so reduziert sich die Gleichung auf

$$E=pc$$

Photonen tragen also einen Impuls, d.h. sie können auch einen Druck ausüben. Sichtbar wird der Strahlungsdruck zum Beispiel bei einen Kometenschweif, der von der Sonne weg zeigt.

3) Besitzt ein Objekt eine Masse und einen Impuls, so muss man die ganze Gleichung betrachten. Setzt man als Impuls

$$p=\frac{1}{\sqrt{1–{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}mv$$

ein, so kann die Energie-Impuls-Beziehung in wenigen Schritten in eine andere aus der Schulzeit bekannte Gleichung umgeschrieben werden.

$$E=\frac{1}{\sqrt{1–{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}m{c}^2$$

Diese Gleichung beschreibt die relativistische Energie eines Objekts. Will man nur die relativistische kinetische Energie haben, so muss man von dieser Gesamtenergie zuerst die Ruheenergie E=mc² abziehen.

$$E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{\sqrt{1–{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}m{c}^2–m{c}^2=m{c}^2(\frac{1}{\sqrt{1–{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}–1)$$

Im Gegensatz zur relativistischen Formel sieht die klassische Formel für die kinetische Energie viel einfacher aus und hat keine Verbindung zu Lichtgeschwindigkeit.

$$E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

Trägt man die kinetische Energie gegen die Geschwindigkeit in Anteilen der Lichtgeschwindigkeit auf, so sieht man sofort einen entscheidenden Unterschied. Während die Energie nach klassischer Formel bei Lichtgeschwindigkeit endlich bleibt, strebt die relativistische Energie gegen Unendlich.

Aus dem Plot sieht man auch, dass die beiden Verläufe für Geschwindigkeiten unter 30-40 % der Lichtgeschwindigkeit praktisch übereinstimmen, zumindest bei der gewählten Skalierung. Dies veranschaulicht, dass aus der Gleichung für die relativistische kinetische Energie die klassische als eine Näherung hervorgehen muss.

Das kann man in der Tat zeigen, in dem die Taylor-Entwicklung für kleine Geschwindigkeiten betrachtet. Damit bekommt folgende Näherung.

$$E_{\mathrm{kin}}=m{c}^2\left(\gamma –1\right)\approx \frac{m{v}^2}{2}+\frac{3 m{v}^4}{8 c^2}+\frac{5 m{v}^6}{16 c^4}+\frac{35 m{v}^8}{128 c^6}+\dots$$

An dieser Stelle sieht man, dass die klassische Formel für die kinetische Energie (mv²)/2 nichts anderes als der erste nicht verschwindende Term in der Taylor-Entwicklung der Gleichung für die relativistische kinetische Energie ist. Weitere Terme werden immer wichtiger, wenn die Geschwindigkeit erhöht wird.
Die nächste Grafik zeigt, wie sie die Näherung immer besser wird, wenn man immer mehr Terme betrachtet.

Noch deutlicher wird die Lage, wenn man das Verhältnis der Näherungen mit der ursprünglichen Gleichung betrachtet.

Aus der Grafik liest man ab, dass die klassische Formel bei etwa 35 % der Lichtgeschwindigkeit um 10 % von der relativistischen abweicht. Nimmt man einen weiteren Term hinzu, so bleibt die Abweichung bei der gleichen Geschwindigkeit unter 2 %, eine Abweichung von 10 % wird erst ab 60 % der Lichtgeschwindigkeit erreicht.