Physikübung 3: Uhrzeiger als Vektoren

Physikübung 3: Uhrzeiger als Vektoren

Aufgabe:
Wir betrachten eine analoge Uhr, deren Stunden- und Minutenzeiger als Vektoren angesehen werden. Zur welcher Uhrzeit zwischen 3:00 und 4:00 Uhr ist der Betrag der Summe der beiden Vektoren maximal bzw. minimal.

Es ist klar, dass die Betrag der Vektoren am größten bzw. kleinsten ist, wenn sie in die gleiche bzw. entgegengesetzte Richtung zeigen. Dies kann man auch mathematisch zeigen, was hier aber nicht gemacht wird.

Lösung 1:

Man stellt zwei Winkelfunktionen für die beiden Zeiger auf. Wir betrachten den Zeitraum zwischen 3:00 und 4:00 Uhr, deswegen beginnt der Stundenwinkel bei 90°.

m (t) = \frac{360^\circ}{60min} * t
s (t) = \frac{30^\circ}{60min} * t + 90^\circ

Für den maximalen Betrag müssen die beiden Winkel gleich sein, denn nur dann weisen die beiden Uhrzeiger in einer Richtung.

m(t) = s(t)
\frac{360^\circ}{60min} * t  = \frac{30^\circ}{60min} * t + 90^\circ
t  = \frac{90^\circ * 2min}{11^\circ}

t=16,36 min

Um 3 Uhr 16 Minuten und 22 Sekunden liegen die beiden Zeiger übereinander und der der Betrag der Vektoren ist am größten.

Für den minimalen Betrag ist die Überlegung ähnlich, nur beträgt jetzt die Winkeldifferenz nicht Null, sondern 180°.

\frac{360^\circ}{60min} * t  = \frac{30^\circ}{60min} * t + 90^\circ + 180^\circ
t  = \frac{270^\circ * 2min}{11^\circ}
t = 49,09 min

Um 3 Uhr 49 Minuten und 5 Sekunden zeigen die beiden Zeiger genau in entgegengesetzte Richtungen und der Betrag der Vektorsumme ist minimal.

Lösung 2:

Man betrachtet die Winkelgeschwindigkeit der beiden Zeiger. Minutenzeiger bewegt sich um 6° pro Minute und der Stundenzeiger um 0,5°. Das heißt der Minutenzeiger ist um 5,5° pro Minute schneller als der Stundenzeiger. Da der Stundenzeiger bereits auf 3:00 Uhr bzw. 90° steht, braucht der Minutenzeiger genau 90°/ (5,5°/min) = 16,36 min um den Stundenzeiger einzuholen, damit sie übereinander liegen.

Sollen die Zeiger in entgegengesetzte Richtung zeigen, so muss der Minutenzeiger den Stundenzeiger aufholen und noch einen Vorsprung von 180° ausbauen, also 16,36 min + 180°/(5,5°/min) = 49,09 min.

Lösung 3:
Man überlegt sich, dass die beiden Zeiger genau 11 mal pro 12h übereinander liegen oder genauer gesagt in Schritten von 12h/11 = 65,45 min. Die dritte Überdeckung passiert nach 3*65,45 min, also 3 Uhr 16 Minuten.

Genauso in Schritten von 65,45 min zeigen die beiden Uhrzeiger in entgegengesetzte Richtung. Hier muss beachtet werden, dass der Ausgangspunkt nicht 00:00 Uhr, sondern 0 Uhr 32,73 Minuten ist. Das ist die Zeit, die benötigt wird bis sich die beiden Zeiger zuerst in entgegengesetzte Richtung zeigen. Die Rechnung lautet 180°/(5,5°/min) = 32,73 min (sieht Lösung 2).
Somit lautet die Lösung 32,73 min + 3*65,45 min – 3*60min = 49,09 min.

Es gibt wahrscheinlich noch viele andere Lösungsmöglichkeiten, aber ob sie auch so einfach sind, sei mal dahin gestellt. Ich persönlich finde die Lösung 2 sehr schick ;)

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