Wie bestimmt man die Erdmasse?



Wie bestimmt man die Erdmasse? Man kann sie ja wohl schlecht auf eine Waage legen. Trotzdem wissen wir welche Masse die Erde besitzt.
Das haben wir Isaac Newton zu verdanken, der bereits 1686 in seinem Werk „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ ein heute nach ihm benanntes Gravitationsgesetz beschrieb.

F=GmMr2

Erde

Das Newtonsches Gravitationsgesetz besagt, dass zwei Punktmassen m und M, die sich in einer Entfernung r von einander befinden, sich gegenseitig mit einer Kraft F anziehen. Diese Kraft wirkt in Richtung der Verbindungslinie zwischen diesen beiden Massen. G ist eine Konstante und l├Ąsst sich experimentell bestimmen.

Nach dieser Gleichung zieht die Erde (Masse M) einen K├Ârper der Masse m mit der Gravitationskraft F an. Eine Kraft ist allgemein definiert als Masse multipliziert mit der Beschleunigung (F=ma). Das hei├čt, alle K├Ârper auf der Erde werden durch die Gravitationskraft angezogen und erfahren eine Beschleunigung.
Diese Beschleunigung l├Ąsst sich experimentell bestimmen und ist vielen als die Gravitationsbeschleunigung der Erde g=9,81 m/s┬▓ bekannt.

Da die Kraft, die einen K├Ârper zum Boden hin beschleunigt genau die Gravitationskraft ist, k├Ânnen wir die beiden Gleichungen gleich setzen.

ma=GmMr2

Die Masse des K├Ârpers, der angezogen wird, taucht auf beiden Seiten der Gleichung auf und kann demnach gek├╝rzt werden1.

Wenn man die letzte Gleichung nach M (hier: Masse der Erde) umstellt, so bekommt man folgende Formel.

M=ar2G

Alle Argumente der Gleichung lassen sich experimentell bestimmen, so dass sich die Erdmasse berechnen l├Ąsst.
Mit den Werten G = 6,67428 · 10-11 m┬│/kg*s┬▓, a=9,81 m/s┬▓ und r = 6370000m bekommt man f├╝r die Erdmasse M = 5,96 · 1024 kg raus.

Selbstverst├Ąndlich ist es nur eine Sch├Ątzung. So variieren die Gravitationsbeschleunigung und der Erdradius je nach Ort. Es wurde auch stillschweigend angenommen, dass die Erde eine perfekte Kugel ist, was nicht der Fall ist. Trotzdem ist es eine gute Sch├Ątzung, wenn man den oberen Wert mit dem Literaturwert f├╝r die Erdmasse M = 5.9736 · 1024 kg vergleicht.

Dieses Beispiel zeigt, dass man mit etwas Physikverst├Ąndnis zu gro├čartigen Ergebnissen kommen kann. =)

1 Obwohl (rechtm├Ą├čigerweise) hier eine Gleichsetzung der beiden Massen durchgef├╝hrt wurde, so ist sie nicht trivial und immer noch ein Forschungsthema. Es handelt sich n├Ąmlich um zwei verschiedene Massen. Die Masse in F=ma nennt man tr├Ąge Masse und die andere schwere Masse.




8 Kommentare zu “Wie bestimmt man die Erdmasse?”

  1. Moniam 5. Mai 2011 um 17:55 Uhr

    Ist G nicht eigentlich 6,67428 ÔÇó 10^-11 ?

  2. Maximam 5. Mai 2011 um 18:06 Uhr

    Ja, habe es korrigiert. Danke. ;)

  3. N. M├Âlleram 25. Dezember 2012 um 03:01 Uhr

    Die ├ťberlegung ( Schulbuch-├ťberlegung ), da├č eine zentrale Masse im Abstand eines Erdradius die Schwerebeschleunigung an der Erdoberfl├Ąche verursacht, sollte einen deutlich zu kleinen Wert f├╝r die Erdmasse liefern. Denn an der Oberfl├Ąche heben sich die Anziehungkr├Ąfte der nahen Massenteile der Erde auf einen Probek├Ârper nahezu aus. Anders gesagt: W├╝rde man die Masse der Erde auf einen kleinen Bereich um ihren Mittelpunkt herum konzentrieren, erg├Ąbe sich in der Entfernung der jetzigen Erdoberfl├Ąche eine deutlich gr├Â├čere Schwerebeschleunigung. Wie gro├č dieser Fehler ist wei├č ich nicht, aber ich w├╝rde intuitiv durchaus eine Gr├Â├čenordnung annehmen ( Faktor 10 oder mehr ).

    Unterstellt man, da├č die Erde homogene Dichte habe, w├╝rde man mit der Dichte des Gesteins an der Erdoberfl├Ąche die Schwerebeschleunigung an der Erdoberfl├Ąche nicht reproduzieren k├Ânnen; man erhielte f├╝r Schwerebeschleunigung einen zu kleinen Wert. Jetzt wei├č man also, da├č der Erdk├Ârper nicht von homogener Dichte ist, und da├č im Erdinnern sich ein Material von deutlich g├Â├čerer Dichte befinden mu├č. Aber unterschiedliche Zusammensetzungen des Erdk├Ârpers bei unterschiedlichen Gesamtmassen k├Ânnen einen gleichen Wert f├╝r die Schwerebeschleunigung an der Erdoberfl├Ąche ergeben. Die Massenverteilung im Erdk├Ârper ist um so inhomogener ( Schichtung ) je besser die oben sg. Schulbuch-├ťberlegung den wahren Wert der Erdmasse widerspiegelt.

    Nur wenn die Mondmasse klein ist gegen├╝ber der Erdmasse, kann man von Umlaufbewegung des Mondes auf die Erdmasse schlie├čen. Unterstellt man, da├č der Mond in etwa die gleiche Dichte wie die Erde hat, bekommt man wenigstens die Gr├Â├čenordnung des Massenverh├Ąltnisses und somit die des Fehler der mit Hilfe der Mondbahn bestimmten Wertes der Erdmasse.

    Man sieht also, die Sache ist kompliziert. Man mu├č – wie auch immer – iterierend hin und her rechnen. Die Frage bleibt: Wer hat wann wie die Erdmasse bestimmt? Da├č mu├č vor noch Google und sogar vor dem Beginn der Raumfahrt gewesen sein …

  4. Maximam 25. Dezember 2012 um 03:08 Uhr

    „Die ├ťberlegung ( Schulbuch-├ťberlegung ), da├č eine zentrale Masse im Abstand eines Erdradius die Schwerebeschleunigung an der Erdoberfl├Ąche verursacht, sollte einen deutlich zu kleinen Wert f├╝r die Erdmasse liefern. Denn an der Oberfl├Ąche heben sich die Anziehungkr├Ąfte der nahen Massenteile der Erde auf einen Probek├Ârper nahezu aus. “

    Nein, da hebt sich nichts auf. Man kann ├╝ber die Integration zeigen, dass die Gravitationskraft einer massiven Kugel der eines Massenpunktes mit der selben Masse entspricht. Daf├╝r muss die Massenverteilung nur in Tangentialrichtung homogen sein, in radialer Richtung kann sie eine beliebige Verteilung haben (z.B. schwerer Kern, leichtere Kruste).

  5. Hajiam 7. April 2013 um 13:24 Uhr

    wieso setzt man f├╝r r den erdradius ein? ist r nicht der Abstand der Massenmittelpunkte?

  6. Maximam 7. April 2013 um 13:29 Uhr

    Man muss den Abstand einsetzen, an dem die Beschleunigung a bzw. g gemessen wird. Das ist auch der Massenschwerpunkt der Probemasse. Da die Beschleunigung aber auf der Erdoberfl├Ąche gemessen wird, setzt man den Erdradius ein. Also: Abstand der Massenmittelpunkte = Erdradius.

  7. Jette Jindraam 7. September 2013 um 15:42 Uhr

    Wie s├Ąhe die Erdoberfl├Ąche ganz ohne Wasser aus? Also nur die geologische Oberfl├Ąche.

  8. Maximam 7. September 2013 um 15:57 Uhr

    Eine der realistischsten Darstellungen, die ich kenne: http://peakgeek.com/wp-content/uploads/2012/10/medium.jpg

    Im Bild sieht man auch die gesamte Wassermenge der Erde in Form einer Kugel dargestellt.

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