Wie bestimmt man die Erdmasse?

Wie bestimmt man die Erdmasse?

Wie bestimmt man die Erdmasse? Man kann sie ja wohl schlecht auf eine Waage legen. Trotzdem wissen wir welche Masse die Erde besitzt.
Das haben wir Isaac Newton zu verdanken, der bereits 1686 in seinem Werk „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ ein heute nach ihm benanntes Gravitationsgesetz beschrieb.

F=GmMr2

Erde

Das Newtonsches Gravitationsgesetz besagt, dass zwei Punktmassen m und M, die sich in einer Entfernung r von einander befinden, sich gegenseitig mit einer Kraft F anziehen. Diese Kraft wirkt in Richtung der Verbindungslinie zwischen diesen beiden Massen. G ist eine Konstante und lässt sich experimentell bestimmen.

Nach dieser Gleichung zieht die Erde (Masse M) einen Körper der Masse m mit der Gravitationskraft F an. Eine Kraft ist allgemein definiert als Masse multipliziert mit der Beschleunigung (F=ma). Das heißt, alle Körper auf der Erde werden durch die Gravitationskraft angezogen und erfahren eine Beschleunigung.
Diese Beschleunigung lässt sich experimentell bestimmen und ist vielen als die Gravitationsbeschleunigung der Erde g=9,81 m/s² bekannt.

Da die Kraft, die einen Körper zum Boden hin beschleunigt genau die Gravitationskraft ist, können wir die beiden Gleichungen gleich setzen.

ma=GmMr2

Die Masse des Körpers, der angezogen wird, taucht auf beiden Seiten der Gleichung auf und kann demnach gekürzt werden1.

Wenn man die letzte Gleichung nach M (hier: Masse der Erde) umstellt, so bekommt man folgende Formel.

M=ar2G

Alle Argumente der Gleichung lassen sich experimentell bestimmen, so dass sich die Erdmasse berechnen lässt.
Mit den Werten G = 6,67428 · 10-11 m³/kg*s², a=9,81 m/s² und r = 6370000m bekommt man für die Erdmasse M = 5,96 · 1024 kg raus.

Selbstverständlich ist es nur eine Schätzung. So variieren die Gravitationsbeschleunigung und der Erdradius je nach Ort. Es wurde auch stillschweigend angenommen, dass die Erde eine perfekte Kugel ist, was nicht der Fall ist. Trotzdem ist es eine gute Schätzung, wenn man den oberen Wert mit dem Literaturwert für die Erdmasse M = 5.9736 · 1024 kg vergleicht.

Dieses Beispiel zeigt, dass man mit etwas Physikverständnis zu großartigen Ergebnissen kommen kann. =)

1 Obwohl (rechtmäßigerweise) hier eine Gleichsetzung der beiden Massen durchgeführt wurde, so ist sie nicht trivial und immer noch ein Forschungsthema. Es handelt sich nämlich um zwei verschiedene Massen. Die Masse in F=ma nennt man träge Masse und die andere schwere Masse.

8 Gedanken zu “Wie bestimmt man die Erdmasse?”

  1. Die Überlegung ( Schulbuch-Überlegung ), daß eine zentrale Masse im Abstand eines Erdradius die Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche verursacht, sollte einen deutlich zu kleinen Wert für die Erdmasse liefern. Denn an der Oberfläche heben sich die Anziehungkräfte der nahen Massenteile der Erde auf einen Probekörper nahezu aus. Anders gesagt: Würde man die Masse der Erde auf einen kleinen Bereich um ihren Mittelpunkt herum konzentrieren, ergäbe sich in der Entfernung der jetzigen Erdoberfläche eine deutlich größere Schwerebeschleunigung. Wie groß dieser Fehler ist weiß ich nicht, aber ich würde intuitiv durchaus eine Größenordnung annehmen ( Faktor 10 oder mehr ).

    Unterstellt man, daß die Erde homogene Dichte habe, würde man mit der Dichte des Gesteins an der Erdoberfläche die Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche nicht reproduzieren können; man erhielte für Schwerebeschleunigung einen zu kleinen Wert. Jetzt weiß man also, daß der Erdkörper nicht von homogener Dichte ist, und daß im Erdinnern sich ein Material von deutlich gößerer Dichte befinden muß. Aber unterschiedliche Zusammensetzungen des Erdkörpers bei unterschiedlichen Gesamtmassen können einen gleichen Wert für die Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche ergeben. Die Massenverteilung im Erdkörper ist um so inhomogener ( Schichtung ) je besser die oben sg. Schulbuch-Überlegung den wahren Wert der Erdmasse widerspiegelt.

    Nur wenn die Mondmasse klein ist gegenüber der Erdmasse, kann man von Umlaufbewegung des Mondes auf die Erdmasse schließen. Unterstellt man, daß der Mond in etwa die gleiche Dichte wie die Erde hat, bekommt man wenigstens die Größenordnung des Massenverhältnisses und somit die des Fehler der mit Hilfe der Mondbahn bestimmten Wertes der Erdmasse.

    Man sieht also, die Sache ist kompliziert. Man muß – wie auch immer – iterierend hin und her rechnen. Die Frage bleibt: Wer hat wann wie die Erdmasse bestimmt? Daß muß vor noch Google und sogar vor dem Beginn der Raumfahrt gewesen sein …

  2. „Die Überlegung ( Schulbuch-Überlegung ), daß eine zentrale Masse im Abstand eines Erdradius die Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche verursacht, sollte einen deutlich zu kleinen Wert für die Erdmasse liefern. Denn an der Oberfläche heben sich die Anziehungkräfte der nahen Massenteile der Erde auf einen Probekörper nahezu aus. “

    Nein, da hebt sich nichts auf. Man kann über die Integration zeigen, dass die Gravitationskraft einer massiven Kugel der eines Massenpunktes mit der selben Masse entspricht. Dafür muss die Massenverteilung nur in Tangentialrichtung homogen sein, in radialer Richtung kann sie eine beliebige Verteilung haben (z.B. schwerer Kern, leichtere Kruste).

  3. Man muss den Abstand einsetzen, an dem die Beschleunigung a bzw. g gemessen wird. Das ist auch der Massenschwerpunkt der Probemasse. Da die Beschleunigung aber auf der Erdoberfläche gemessen wird, setzt man den Erdradius ein. Also: Abstand der Massenmittelpunkte = Erdradius.

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