Träheitsmoment von 4 Massenpunkten

Physikübung 8: Freie Achse, Trägheitsmoment

Aufgabe:
Vier Massenpunkte gleicher Masse m sind starr miteinander verbunden. Sie befinden sich an den Ecken eines Quadrates mit der Seitenlänge d. Die Massen der Verbindungsteile sind des Weiteren zu vernachlässigen.

a) Zeigen Sie, dass jede Drehachse, welche sich in der Ebene des Quadrates befindet und durch seinen Mittelpunkt verläuft, eine freie Achse ist.

b) Zeigen Sie, dass bezüglich einer solchen freien Achse das Trägheitsmoment der vier Massenpunkte unabhängig von der Wahl der Achse ist und bestimmen Sie seinen Ausdruck.

Lösung:

Träheitsmoment von 4 Massenpunkten

a)
Eine Rotationsachse ist eine Freie Achse, wenn die zu ihr senkrechte Komponente des Drehimpulses aller Massenpunkte Null ist. Das heißt, der Drehimpuls muss unabhängig von dem Punkt auf der Achse sein, von dem er betrachtet wird.
Wir verwenden die allgemeine Definition des Drehimpulses und formen die Gleichung so um, dass wir einen senkrechten und einen parallelen Anteil bekommen. Der parallele Anteil muss dann Null ergeben.

Im Folgenden Fett-geschriebene Buchstaben symbolisieren Vektoren.
Das Summenzeichen entspricht der Summe von i=1 bis i=4, wobei i einen Massenpunkt symbolisiert.

Wir betrachten den Drehimpuls von einem beliebigen Punkt O aus.

L = ∑ ri×(mvi)

Die Masse entspricht einer Konstante, also können wir sie aus der Summe raus ziehen. Die Tangentialgeschwindigkeit vi wird durch den Ortsvektor (bezüglich Punktes O) ri und die Winkelgeschwindigkeit ω ersetzt.

L = m ∑ ri×(ω×ri)

Jetzt drücken wir den Ortsvektor ri in dem Schwerpunktbezugssystem aus. Einfachheit halber wird zuerst nur ein Vektor ersetzt.

L = m ∑ ri×[ω×(ROS+Ri)]

L = m ∑ ri×[ω×ROS+ω×Ri]

ω×ROS ist Null, weil die beiden Vektoren parallel sind.

L = m ∑ ri×(ω×Ri)

Jetzt ersetzen wir das andere ri durch ROS+Ri.

L = m ∑ (ROS+Ri)×(ω×Ri)

Wir multiplizieren aus.

L = m ∑ [ROS×(ω×Ri)+Ri×(ω×Ri)]

Die Summe wird aufgespalten.

L = m ∑ ROS×(ω×Ri)+ m ∑ Ri×(ω×Ri)

Da ω und ROS für alle Massenpunkte gleich ist können wir den ersten Term umschreiben. Dabei ziehen wir die Masse wieder in die Summe rein.

L = ROS×(ω×∑ mRi)+ m ∑ Ri×(ω×Ri)

Der Ausdruck ∑ mRi im ersten Term entspricht dem Schwerpunkt und ist somit Null. Dadurch fällt der erste Term komplett weg.

L = m ∑ Ri×(ω×Ri)

Man sieht, dass der Drehimpuls von einem beliebigen Punkt aus betrachtet, dem Drehimpuls vom Schwerpunk aus entspricht. Wir haben bis jetzt also nur ri durch Ri ersetzt.

Jetzt spalten wir den Vektor Ri in einen zur der Drehachse parallelen Ri|| und senkrechten Anteil Ri⊥ auf.

Ri = Ri|| + Ri⊥

Wir gehen dabei wieder Schrittweise vor und ersetzen zuerst nur einen Vektor Ri.

L = m ∑ Ri×[ω×(Ri|| + Ri⊥)]

L = m ∑ Ri×(ω×Ri|| + ω×Ri⊥)

ω×Ri|| ist Null, weil die Vektoren parallel sind.
Wir ersetzen das zweite Ri.

L = m ∑ (Ri|| + Ri⊥)×(ω×Ri⊥)

Es wird ausgeklammert und die Summe aufgespalten (analoger Schritt wurde bereits oben durchgeführt).

L = m ∑ Ri||×(ω×Ri⊥) + m ∑ Ri⊥×(ω×Ri⊥)

Dies entspricht genau dem parallelen und senkrechten Anteil des Drehimpulses.

L + Li|| = m ∑ Ri||×(ω×Ri⊥) + m ∑ Ri⊥×(ω×Ri⊥)

Wir interessieren uns für den senkrechten Anteil.

L = m ∑ Ri||×(ω×Ri⊥)

Wir schreiben die Kreuzprodukte in Skalarprodukte um. Rechenregel: a×(b×c) = (a·cb – (a·bc

L = m ∑ [(Ri||·Ri⊥ω – (Ri||·ωRi⊥]

Da Ri|| und Ri⊥ senkrecht zu einander stehen, ist das Skalarprodukt Ri||·Ri⊥=0 und somit auch der erste Term.

L = m ∑ [- (Ri||·ωRi⊥]

Ri||·ω = Ri||·ω·1

L = m ∑ [- Ri||·ω·Ri⊥]

Wir ziehen die Beträge aus der Summe raus.

L = -Ri||·ω·m ∑ Ri⊥

Es wird also nur über die senkrechten Abstände der Massenpunkte summiert. Aufgrund der Symmetrie bekommt man da Null raus. Somit wird der senkrechte Anteil des Drehimpulses Null.

L = -Ri||·ω·m ∑ Ri⊥ = 0

Daraus folgt, dass jede Drehachse, die durch den Schwerpunkt geht und in der Ebene liegt eine Freie Achse ist.

b)

Um das Trägheitsmoment θ zu berechnen, verwenden wir die Beziehung L = θ·ω. In unserem Fall gilt L = L||.

L|| = m ∑ Ri⊥×(ω×Ri⊥)

Wir schreiben in Skalarprodukte um.

L|| = m ∑ [ (Ri⊥·Ri⊥ω – (Ri⊥·ωRi⊥]

Der zweite Term verschwindet wegen Ri⊥·ω=0.

L|| = m ∑ (Ri⊥)²·ω

L|| = m ω ∑ (Ri⊥

Ri⊥ entspricht für alle Massenpunkte der halben Seitenlänge des Quadrat.

(Ri⊥)² = ¼d²

Wir schreiben die Summe aus.

L|| = mω[¼d² + ¼d² + ¼d² + ¼d²]

L|| = mω

Und damit ist θ = md²

Die Unabhängigkeit des Trägheitsmomentes von der Achsenwahl wurde so nebenbei bereits in a) gezeigt.

Viel Spaß damit ^^

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