Basistransformationsmatrix berechnen



Es sei gegeben ein Vektor v_A=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} bezogen auf eine Basis z.B. Standardbasis A=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\}und man m├Âchte diesen Vektor in eine andere Basis, sagen wir B=\{\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\} ├╝berf├╝hren. Wie geht man dabei vor?

Man versucht jeden einzelnen Vektor der Basis A durch eine Linearkombination aus den Vektoren der Basis B darzustellen. Dadurch bekommt man drei lineare Gleichungssysteme:

a_1\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}+b_1\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c_1\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
a_2\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}+b_2\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
a_3\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}+b_3\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c_3\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Man l├Âst diese drei LGS einzeln und schreibt die Koeffizienten spaltenweise in eine Matrix oder man l├Âst sie mit Gau├č-Jordan-Algorithmus alle drei auf einmal , was um einiges schneller geht.

LGS mit Gau├č-Jordan-Algorithmus l├Âsen:

Man schreibt die Basen in einer Matrixform nebeneinander und wendet den Gau├č-Jordan-Algorithmus so lange an, bis auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht.

\left(\begin{array}{lll|rrr} -1 &  2 &   3 & 1 & 0 & 0 \\  2 & 1 &  3 & 0 & 1 & 0 \\ -4 &  0 & -2 & 0 & 0 & 1  \end{array}\right)

Z2 = Z2 + 2*Z1
Z3 = Z3 – 4*Z1

\left(\begin{array}{lll|rrr} -1 &  2 &   3 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 5 &  9 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -8 & -14 & -4 & 0 & 1  \end{array}\right)

Z2 = 8*Z2
Z3 = 5*Z3

\left(\begin{array}{lll|rrr} -1 &  2 &   3 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 40 &  72 & 16 & 8 & 0 \\ 0 & -40 & -70 & -20 & 0 & 5  \end{array}\right)

Z3 = Z3 + Z2

\left(\begin{array}{lll|rrr} -1 &  2 &   3 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 40 &  72 & 16 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 8 & 5  \end{array}\right)

Z1 = -2*Z1
Z2 = Z2 / 4

\left(\begin{array}{lll|rrr} -2 &  4 &  6 & 2 & 0 & 0 \\  0 & 10 &  18 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 8 & 5  \end{array}\right)

Z1 = Z1 – 3*Z3
Z2 = Z2 – 9*Z3

\left(\begin{array}{lll|rrr} -2 &  4 &  0 & 14 & -24 & -15 \\  0 & 10 &  0 & 40 & -70 & -45 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 8 & 5  \end{array}\right)

Z2 = Z2 / 5

\left(\begin{array}{lll|rrr} -2 &  4 &  0 & 14 & -24 & -15 \\  0 & 2 &  0 & 8 & -14 & -9 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 8 & 5  \end{array}\right)

Z1 = Z1 -2*Z2

\left(\begin{array}{lll|rrr} -2 &  0 &  0 & -2 & 4 & 3 \\  0 & 2 &  0 & 8 & -14 & -9 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 8 & 5  \end{array}\right)

Z1 = Z1 / (-2)
Z2 = Z2 / 2
Z3 = Z3 / 3

\left(\begin{array}{lll|rrr} 1 &  0 &  0 & 1 & -2 & -3/2 \\  0 & 1 &  0 & 4 & -7 & -9/2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 4 & 5/2  \end{array}\right)

Die Matrix auf der rechten Seite entspricht der Transformationsmatrix von A nach B, also
T_B^A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3/2 \\ 4 & -7 & -9/2 \\ -2 & 4 & 5/2 \end{pmatrix}

Mit der Matrix T_B^A kann ein belieber Vektor v_A der Basis A in einen Vektorraum mit der Basis B ├╝bergef├╝hrt werden. Dazu multipliziert man den Vektor v_A mit T_B^A und bekommt als Ergebnis v_B: v_B =  T_B^A * v_A .

Aus unserem Beispiel:

v_B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3/2 \\ 4 & -7 & -9/2 \\ -2 & 4 & 5/2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 1+6-3 \\ 4+21-9 \\ -2-12+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 16 \\ -9 \end{pmatrix}

Die Transformationsmatrix von B nach A kann nach einer einfachen Regel T_A^B = (T_B^A)^{-1} ausgerechnet werden.




12 Kommentare zu “Basistransformationsmatrix berechnen”

  1. Butterkeksam 1. Mai 2010 um 10:16 Uhr

    Oh man ich versteh nur Bahnhof xD aber gut das du das mal auff├╝hrst.

  2. Butterkeksam 1. Mai 2010 um 10:50 Uhr

    Mach das mal ;) vlt braucht mans ja noch^^

  3. adminam 1. Mai 2010 um 10:38 Uhr

    Ach etwas lineare Algebra ^^ Vlt. sollte ich mal ein Artikel zu Gau├č-Jordan-Algorithmus schreiben. Ich verstehe nicht, warum er nicht in der Schule beigebracht wird. Damit spart man sich einiges an Rechenzeit und Schreibarbeit in den Klausuren.

  4. Urionam 2. Dezember 2010 um 09:42 Uhr

    Super Sache, einfach und verst├Ąndlich erkl├Ąrt, jetzt ists mir wieder klar :) Dankesch├Ân!

  5. Saschaam 29. M├Ąrz 2011 um 15:31 Uhr

    hallo,
    ich habe eine frage und zwar….

    steht links beim gaus die matrix indie ich transformieren mag und rects die alte matrix wher der vektor kommt?

    danke f├╝r die antwort

  6. Maximam 29. M├Ąrz 2011 um 17:26 Uhr

    Ja, auf der linken Seite steht deine Zielbasis.

    (nach | von )

    PS: …omg ist das lange her, ich bin schon eingerostet was LA angeht :D

  7. dannyam 28. Juni 2012 um 13:26 Uhr

    Wie soll ich vorgehen, wenn ich einen Vektor einer Basis in die kanonische Basis transformieren soll? dann steht ja in der „nach“ -matrix bereits die Einheitsmatrix, oder?

  8. Maximam 28. Juni 2012 um 14:50 Uhr

    Ja, die Inverse der Einheitsmatrix ist die Einheitsmatrix. Der Gau├č-Algorithmus hier dient nur zur Bildung der Inversen, mehr nicht.
    Vielleicht soll ich das noch mal ganz kurz erkl├Ąren.
    Alle Vektoren werden zu einer Basis dargestellt. Ein Vektor wird immer dargestellt als eine Multiplikation der Basis mit den Koordinaten (hier ╬▒). F├╝r Standardbasis ist es:

    E*╬▒ = x.

    Das verwirrende ist wohl, dass ╬▒ und x die gleichen Eintr├Ąge haben, aber das ist nur bei der Standardbasis E so!
    Den gleichen Vektor x kann man in einer anderen Basis B darstellen. Daf├╝r m├╝ssen die Koordinaten anders sein. Also B*╬▓ = x.
    Der Vektor x ist immer noch der gleiche, also k├Ânnen wir die beiden Gleichungen gleich setzen.

    E*╬▒ = B*╬▓

    In dem hier vorgestellten Fall, war E, ╬▒ und B gegeben; ╬▓ war gesucht. Also stellen wir die Gleichung nach ╬▓ um. Dazu multiplizieren wir die Inverse von B auf beiden Seiten dazu.
    Inv(B)*E*╬▒ = Inv(B)*B*╬▓
    Inv(B)*E*╬▒ = ╬▓

    Inv(B)*E ist genau die Transformationmatrix. Die Inverse von B wird mit dem oberen Gau├č-Jordan- Algorithmus berechnet. Die Multiplikation mit E ├Ąndert nichts daran.

    Betrachtet man deinen Fall, so sind E, B und ╬▓ gegeben; ╬▒ ist gesucht. Multipliziert man von beiden Seiten mit Inv(E), so ergibt sich:

    Inv(E)*E*╬▒ = Inv(E)*B*╬▓
    ╬▒ = Inv(E)*B*╬▓
    ╬▒ = E*B*╬▓
    ╬▒ = B*╬▓

    Also ist die Basis B auch gleichzeitig deine Transformationsmatrix. Als Probe kannst du deine Transformationsmatrix B invertieren und damit ╬▒ wieder in die Basis B ├╝berf├╝hren, damit wieder ╬▓ herauskommt.

  9. dannyam 28. Juni 2012 um 15:15 Uhr

    Wenn ich also eine Matrix b habe und einen Vektor v (mit Basis b), und diese in die kanonische Basis transformieren will, ist die Matrix b meine Transformationsmatrix?
    Habe hier: http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/Transformationsmatrizen%20und%20Basiswechsel.pdf herausgelesen (ab Seite 4), dass die Transformationsmatrix von der kanonischen Basis in eine andere Basis b, gerade diese Matrix b ist
    und andersrum ist die Transformationsmatrix von b in die kanonische b hoch -1 ist, oder liege ich hier falsch?

  10. Maximam 28. Juni 2012 um 15:31 Uhr

    Du meinst also genau andersrum? Hmm…das m├╝sste ich mir mal sp├Ąter genauer anschauen.

  11. Maximam 28. Juni 2012 um 16:46 Uhr

    Also ich habe es noch mal in einem Buch nachgelesen* und meine Darstellung stimmt damit ├╝berein. Die Transformationsmatrix von Basis B nach E sind gerade die Vektoren in B nebeneinander geschrieben (also als Matrix).
    Die Darstellung in dem PDF-Dokument scheint nicht korrekt zu sein.

    Frage zur Sicherheit deinen Betreuer (ich gehe davon aus du bist ein Student) und schreibe hier dann bitte rein, ob es stimmt.

    * Lustigerweise wurde in dem Buch (Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1) ein ├Ąhnlicher Fehler gemacht. Auf benachbarten Seiten wurde die Transformationsrichtung vertauscht, also von E nach B und nicht von B nach E. Ich habe dann in Errata nachgeschaut und es hat sich als ein Fehler herausgestellt.

  12. Volkeram 12. Februar 2018 um 17:53 Uhr

    Hallo.
    Das ist doch unn├Âtig schwierig abgehandelt.

    Im Prinzip ist das Beispiel oben ein „Dreizeiler“:

    1. Die Tranformationsmatrix von A nach B kann man einfach hinschreiben.
    Die Basisvektoren bilden als Spalten diese Matrix.

    2. Man invertiert diese Matrix und hat die Transformation von B nach A.
    Diese Matrix wird mit dem angegebenen Vektor ( zur Basis A) multipliziert.

    3. Das ergibt dann den entsprechenden Vektor zur Basis B.

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