Basistransformationsmatrix berechnen

Es sei gegeben ein Vektor [math]v_A=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}[/math] bezogen auf eine Basis z.B. Standardbasis [math]A=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\}[/math]und man möchte diesen Vektor in eine andere Basis, sagen wir [math]B=\{\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\}[/math] überführen. Wie geht man dabei vor?

Man versucht jeden einzelnen Vektor der Basis A durch eine Linearkombination aus den Vektoren der Basis B darzustellen. Dadurch bekommt man drei lineare Gleichungssysteme:

[math]
a_1\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}+b_1\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c_1\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/math]
[math]
a_2\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}+b_2\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/math]
[math]
a_3\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}+b_3\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c_3\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/math]

Man löst diese drei LGS einzeln und schreibt die Koeffizienten spaltenweise in eine Matrix oder man löst sie mit Gauß-Jordan-Algorithmus alle drei auf einmal , was um einiges schneller geht.

LGS mit Gauß-Jordan-Algorithmus lösen:

Man schreibt die Basen in einer Matrixform nebeneinander und wendet den Gauß-Jordan-Algorithmus so lange an, bis auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht.

[math]\left(\begin{array}{lll|rrr} -1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)[/math]

Z2 = Z2 + 2*Z1
Z3 = Z3 – 4*Z1

[math]\left(\begin{array}{lll|rrr} -1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 9 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -8 & -14 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right)[/math]

Z2 = 8*Z2
Z3 = 5*Z3

[math]\left(\begin{array}{lll|rrr} -1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 40 & 72 & 16 & 8 & 0 \\ 0 & -40 & -70 & -20 & 0 & 5 \end{array}\right)[/math]

Z3 = Z3 + Z2

[math]\left(\begin{array}{lll|rrr} -1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 40 & 72 & 16 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 8 & 5 \end{array}\right)[/math]

Z1 = -2*Z1
Z2 = Z2 / 4

[math]\left(\begin{array}{lll|rrr} -2 & 4 & 6 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 18 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 8 & 5 \end{array}\right)[/math]

Z1 = Z1 – 3*Z3
Z2 = Z2 – 9*Z3

[math]\left(\begin{array}{lll|rrr} -2 & 4 & 0 & 14 & -24 & -15 \\ 0 & 10 & 0 & 40 & -70 & -45 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 8 & 5 \end{array}\right)[/math]

Z2 = Z2 / 5

[math]\left(\begin{array}{lll|rrr} -2 & 4 & 0 & 14 & -24 & -15 \\ 0 & 2 & 0 & 8 & -14 & -9 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 8 & 5 \end{array}\right)[/math]

Z1 = Z1 -2*Z2

[math]\left(\begin{array}{lll|rrr} -2 & 0 & 0 & -2 & 4 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 8 & -14 & -9 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 8 & 5 \end{array}\right)[/math]

Z1 = Z1 / (-2)
Z2 = Z2 / 2
Z3 = Z3 / 3

[math]\left(\begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & -2 & -3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & -7 & -9/2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 4 & 5/2 \end{array}\right)[/math]

Die Matrix auf der rechten Seite entspricht der Transformationsmatrix von A nach B, also
[math]
T_B^A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3/2 \\ 4 & -7 & -9/2 \\ -2 & 4 & 5/2 \end{pmatrix}
[/math]

Mit der Matrix [math]T_B^A[/math] kann ein belieber Vektor [math]v_A[/math] der Basis A in einen Vektorraum mit der Basis B übergeführt werden. Dazu multipliziert man den Vektor [math]v_A[/math] mit [math]T_B^A[/math] und bekommt als Ergebnis [math]v_B[/math]: [math]v_B = T_B^A * v_A [/math].

Aus unserem Beispiel:

[math] v_B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3/2 \\ 4 & -7 & -9/2 \\ -2 & 4 & 5/2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+6-3 \\ 4+21-9 \\ -2-12+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 16 \\ -9 \end{pmatrix}
[/math]

Die Transformationsmatrix von B nach A kann nach einer einfachen Regel [math] T_A^B = (T_B^A)^{-1} [/math] ausgerechnet werden.

12 Gedanken zu „Basistransformationsmatrix berechnen“

  1. Ach etwas lineare Algebra ^^ Vlt. sollte ich mal ein Artikel zu Gauß-Jordan-Algorithmus schreiben. Ich verstehe nicht, warum er nicht in der Schule beigebracht wird. Damit spart man sich einiges an Rechenzeit und Schreibarbeit in den Klausuren.

  2. hallo,
    ich habe eine frage und zwar….

    steht links beim gaus die matrix indie ich transformieren mag und rects die alte matrix wher der vektor kommt?

    danke für die antwort

  3. Wie soll ich vorgehen, wenn ich einen Vektor einer Basis in die kanonische Basis transformieren soll? dann steht ja in der „nach“ -matrix bereits die Einheitsmatrix, oder?

  4. Ja, die Inverse der Einheitsmatrix ist die Einheitsmatrix. Der Gauß-Algorithmus hier dient nur zur Bildung der Inversen, mehr nicht.
    Vielleicht soll ich das noch mal ganz kurz erklären.
    Alle Vektoren werden zu einer Basis dargestellt. Ein Vektor wird immer dargestellt als eine Multiplikation der Basis mit den Koordinaten (hier α). Für Standardbasis ist es:

    E*α = x.

    Das verwirrende ist wohl, dass α und x die gleichen Einträge haben, aber das ist nur bei der Standardbasis E so!
    Den gleichen Vektor x kann man in einer anderen Basis B darstellen. Dafür müssen die Koordinaten anders sein. Also B*β = x.
    Der Vektor x ist immer noch der gleiche, also können wir die beiden Gleichungen gleich setzen.

    E*α = B*β

    In dem hier vorgestellten Fall, war E, α und B gegeben; β war gesucht. Also stellen wir die Gleichung nach β um. Dazu multiplizieren wir die Inverse von B auf beiden Seiten dazu.
    Inv(B)*E*α = Inv(B)*B*β
    Inv(B)*E*α = β

    Inv(B)*E ist genau die Transformationmatrix. Die Inverse von B wird mit dem oberen Gauß-Jordan- Algorithmus berechnet. Die Multiplikation mit E ändert nichts daran.

    Betrachtet man deinen Fall, so sind E, B und β gegeben; α ist gesucht. Multipliziert man von beiden Seiten mit Inv(E), so ergibt sich:

    Inv(E)*E*α = Inv(E)*B*β
    α = Inv(E)*B*β
    α = E*B*β
    α = B*β

    Also ist die Basis B auch gleichzeitig deine Transformationsmatrix. Als Probe kannst du deine Transformationsmatrix B invertieren und damit α wieder in die Basis B überführen, damit wieder β herauskommt.

  5. Wenn ich also eine Matrix b habe und einen Vektor v (mit Basis b), und diese in die kanonische Basis transformieren will, ist die Matrix b meine Transformationsmatrix?
    Habe hier: http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/Transformationsmatrizen%20und%20Basiswechsel.pdf herausgelesen (ab Seite 4), dass die Transformationsmatrix von der kanonischen Basis in eine andere Basis b, gerade diese Matrix b ist
    und andersrum ist die Transformationsmatrix von b in die kanonische b hoch -1 ist, oder liege ich hier falsch?

  6. Also ich habe es noch mal in einem Buch nachgelesen* und meine Darstellung stimmt damit überein. Die Transformationsmatrix von Basis B nach E sind gerade die Vektoren in B nebeneinander geschrieben (also als Matrix).
    Die Darstellung in dem PDF-Dokument scheint nicht korrekt zu sein.

    Frage zur Sicherheit deinen Betreuer (ich gehe davon aus du bist ein Student) und schreibe hier dann bitte rein, ob es stimmt.

    * Lustigerweise wurde in dem Buch (Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1) ein ähnlicher Fehler gemacht. Auf benachbarten Seiten wurde die Transformationsrichtung vertauscht, also von E nach B und nicht von B nach E. Ich habe dann in Errata nachgeschaut und es hat sich als ein Fehler herausgestellt.

  7. Hallo.
    Das ist doch unnötig schwierig abgehandelt.

    Im Prinzip ist das Beispiel oben ein „Dreizeiler“:

    1. Die Tranformationsmatrix von A nach B kann man einfach hinschreiben.
    Die Basisvektoren bilden als Spalten diese Matrix.

    2. Man invertiert diese Matrix und hat die Transformation von B nach A.
    Diese Matrix wird mit dem angegebenen Vektor ( zur Basis A) multipliziert.

    3. Das ergibt dann den entsprechenden Vektor zur Basis B.

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