Herleitung der pq-Formel

Ich muss gestehen, dass ich nicht weiß wie die pq-Formel lautet bzw. ich vergesse sie ständig. Das liegt wohl daran, dass ich sie in der Schule nie wirklich gelernt habe. Wie habe ich dann quadratische Gleichungen gelöst? Mit quadratischer Ergänzung. Damit bin ich immer gut zurecht gekommen, weil diese Lösungsmethode für mich logischer erschien als irgendwelche vorgegebenen Formeln zu verwenden.

Neulich habe ich mit einem Studienkollegen für eine Klausur gelernt und er meinte er benutzt immer die pq-Formel und von der quadratischen Ergänzung hat er nur so am Rande was gehört. Daraufhin habe ich ihn an einem allgemeinen Fall gezeigt wie quadratische Ergänzung funktioniert und als Ergebnis kam die pq-Formel raus. Das ist zwar nicht verwunderlich, aber ich war trotzdem überrascht :)

Angenommen man hat folgende quadratische Gleichung gegeben x²+px+q = 0.
Der Trick besteht darin diese Gleichung so zu erweitern, damit man auf die binomische Formel zweiter Ordnung kommt, also (a + b)² = a² + 2ab + b².

Das ist unserem Fall . Das px ist entspricht 2ab. Da a :=x muss b := \frac{p}{2} sein und somit b^2 := \frac{p^2}{4}.

Der gesuchte Wert für wurde somit gefunden. Man ergänzt die Gleichung auf beiden Seiten mit diesem Wert.

x^2+px+q + \frac{p^2}{4} =  \frac{p^2}{4}
x^2 + px + \frac{p^2}{4} =  \frac{p^2}{4}  - q

Jetzt hat man auf der linken Seite die ausgeschriebene binomische Formel stehen. Man schreibt sie in die geschlossene Form um.

(x+\frac{p}{2})^2 = \frac{p^2}{4}  - q

Jetzt wird auf jeder Seite die Wurzel gezogen. Da das Ergebnis einer Wurzel positiv und negativ ist, schreiben wir ein ± davor.

x+\frac{p}{2} =  \pm\sqrt{\frac{p^2}{4} - q}
x_{1,2}=  -\frac{p}{2} \pm\sqrt{\frac{p^2}{4} - q}

Elegant oder?! Wird die quadratische Ergänzung überhaupt noch an den Schulen gelernt oder muss man die pq-Formel auswendig lernen?

5 Gedanken zu “Herleitung der pq-Formel”

  1. ;) interessant…
    ich hab nur noch die pq Formel gelernt, aber auch wie man sie herleitet (aber nicht wie du gezeigt hat).
    Unsere Lehrer meinten, dass sich bei der quadratischen Ergänzung schnell mal Fehler einschleichen und man besser bedient ist, wenn man die pq Formel auswendig kann.
    Voraussetzung ist natürlich immer das man die Binomischen Formeln gescheit kann.

    Freundinnen von mir die bis zur 10ten Klasse in Bayern zur Schule gegangen sind haben nur die quadratische Ergänzung gelernt. Ist also scheinbar Ermessens Sache des Lehrers.
    Lg

  2. Ich habe in Baden-Württemberg nur die pq-Formel gelernt. Bei uns hieß sie Mitternachtsformel, weil man sie sogar mitten in der Nacht auswendig kennen musste. Ehrlich gesagt, habe ich die Formel gehasst und war schon sehr froh im Studium etwas von der quadratischen Ergänzung gehört zu haben. Diese finde ich viel einfacher und intuitiver als etwas auswendig zu lernen, von dem man als Schüler sowieso nicht weiß, wo es herkommt.

  3. Die Mitternachtsformel ist etwas allgemeinere PQ-Formel mit einer Konstante vor dem quadratischen Term. Wer Spaß dran hat, kann sie ja nach dem gleichen Prinzip herleiten ;)

    Die quadratische Ergänzung ist ja nicht nur zum lösen von quadratischen Gleichungen gut. Manchmal ist es hilfreich bestimmte Terme geschickt zusammen zu fassen, um zum Beispiel ein kompliziertes Integral lösen zu können und gelegentlich bietet sich die QE gut dafür an.

  4. ich finde die Erkärung gut. Eine Frage. x^2+px+q=0 Es steht: da a:=x soweit klar, aber wieso muss b: = p/2 und nicht einfach p? Danke

  5. Vergleiche die beiden Gleichungen:
    x² + p *x + q = 0
    a² + 2b*a + b² = 0
    Man fängt von vorne an und sagt a := x. Wenn man das in die zweite Gleichungen einsetzt, so hat man:
    x² + p *x + q = 0
    x² + 2b*x + b² = 0
    Jetzt vergleicht man den zweiten Term. Da muss gelten p = 2b, damit die Terme gleich sind. Teilt man auf beiden Seiten durch 2, hat man p/2 = b.

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