Physikübung 15: Unendliche Kette von Kondensatoren



Aufgabe:
Es ist eine unendlich lange Kette von gleich großen Kondensatoren, die abwechselnd parallel und in Reihe geschaltet werden, gegeben (siehe Abbildung).
Unendliche Kondensatorkette

Bestimmen Sie die Gesamtkapazität dieser Schaltung.

Lösung:

Man erkennt, dass die ganze Kette nur eine Wiederholung von einer Schaltung aus zwei Kondensatoren ist (links von der Trennlinie in der Abbildung).

Aufteilung der unendliche Kondensatorkette.

Man teilt die Kette in die erste Zelle und den Rest, der hier als C∞-1 bezeichnet wird, auf. Somit reduziert sich die zunächst unendliche Kette auf eine Schaltung aus drei Kondensatoren.

Ersatzschaltbild für die unendliche Kondensatorkette.

Der Trick bei dieser Aufgabe ist zu erkennen, dass C und C∞-1 gleich groß sind. Man hat unendlich viele Kondensator-Glieder und wenn da einer abgezogen wird, so bleiben immer noch unendlich viele Glieder übrig.

Wir berechnen die Gesamtkapazität der Schaltung aus der letzten Abbildung.

1C=1C+1C+C1

Wir setzen C∞-1 = C.

1C=1C+1C+C

Eine Multiplikation mit C,C und (C+C) eliminiert die Brüche, so dass nach einer Umstellung eine quadratische Gleichung stehen bleibt.

C2+CCC2=0

Diese Gleichung kann man mit der Quadratischen Ergänzung oder der pq-Formel lösen. Als Resultat bekommt man zwei Ergebnisse, wobei nur das positive physikalisch einen Sinn macht (es gibt keine negativen Kapazitäten).

C=C251

Viel Spaß damit! :)

Information: Dieser Beitrag verwendet für die Darstellung von mathematischen Gleichungen einen offiziellen W3C Standard „MathML“. Leider unterstützen auch heute noch einige Browser diesen über 10 Jahre alten Standard nicht. Ob Ihr Browser MathML beherrscht können Sie hier testen.




Ein Kommentar zu “Physikübung 15: Unendliche Kette von Kondensatoren”

  1. random physikstudentam 14. Mai 2014 um 15:16 Uhr

    Danke!

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