Was hat ein Rettungsschwimmer mit dem Brechungsgesetz zu tun? So einiges, wie man es an dieser Beispielaufgabe sehen kann.
Aufgabe:
Ein Rettungsschwimmer bemerkt vom Strand aus im Wasser eine Person, die Hilfe benötigt. Welchen Weg muss der Rettungsschwimmer nehmen um in kürzester Zeit die hilfebedürftige Person zu erreichen?
Lösung:
Man könnte vermuten, dass der direkte Weg auch der kürzeste Weg ist. Dies ist aber nicht so, weil der Rettungsschwimmer schneller laufen, als schwimmen kann. Deswegen ist es vorteilhaft größeren Weg auf dem Strand zurückzulegen. Schauen wir uns das Problem aus mathematischer Sicht an, dazu zuerst eine Zeichnung.
Der Rettungsschwimmer kann die Stelle, an der er ins Wasser geht, erst mal beliebig aussuchen. In unserer Zeichnung wird diese Stelle durch den Parameter x repräsentiert. Alle andere Größen sind fest und können nicht verändert werden.
Betrachten wir die Zeit, die der Rettungsschwimmer für die gesamte Strecke braucht.
tges(x) = √(L-x)²+y² / v1 + √x² + z² / v2
Um die kürzeste Zeit zu bekommen, bestimmen wir das Minima dieser Funktion. Dazu leiten wir die Funktion nach x ab und setzen die Ableitung gleich Null (korrekt wäre es, wenn man auch zeigt, dass es wirklich ein Minimum gibt, aber das lasse ich hier aus).
t‘ges(x) = -(L-x) / (v1 √(L-x)²+y² ) + x / (v2 √x² + z²)
t‘ges(x) = 0
(L-x) / (v1 √(L-x)²+y² ) = x / (v2 √x² + z² )
Wenn man den Term auf der linken Seite anschaut, so erkennt man, dass dort Gegenkathete durch Hypotenuse für das Dreieck mit dem Winkel α steht und das ist sin(α). Für den rechten Term sieht es ähnlich aus.
Den ganzen Ausdruck kann man also schreiben als sin(α) / v1 = sin(β) / v2 und das ist das bekannte Brechungsgesetz für Lichtwellen.
Der Rettungsschwimmer muss also die Winkel α und β so einhalten, damit die Gleichung stimmt. Dann ist er in kürzester Zeit bei der Person im Wasser. Es ist also wichtig nicht den direkten Weg zu nehmen, um der Person schnellstmöglich zu helfen.