Berechnung von Determinanten einer 2×2, 3×3, 4×4 und nxn-Matrix



Eine Determinante ist eine Zahl die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird. Mit Hilfe einer Determinante kann man einiges über die Eigenschaften einer Matrix aussagen.

Determinante einer 2×2-Matrix:

Dieser Fall ist besonders simpel:

detabcd=adbc

Beispiel:

det2351=2*13*5=17

Determinante einer 3×3 Matrix:

det \left(\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & c_1 \\  a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3  \end{array}\right) = a_{1}b_{2}c_{3} + b_{1}c_{2}a_{3}+ c_{1}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}c_{1}-b_{3}c_{2}a_{1}-c_{3}a_{2}b_{1}

Um diese Berechnungsformel nicht merken zu müssen gibt es eine Berechnungshilfe.
Man schreibt die ersten beiden Spalten hinter die Matrix.

\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\  a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3  \end{vmatrix}\begin{array}{ll} a_1 & b_1 \\   a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3  \end{array}

Danach kann man die Regel von Sarrus anwenden.

3x3 determinante

Man addiert in blauen Bereichen eingeschlossene Produkte und subtrahiert davon die Produkte die in orangefarbenen Bereichen stehen. Das Ergebnis ist genau die Formel die oben steht.

Beispiel:
det \left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 5 \\  -1 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & -3  \end{array}\right) = -6+0-10-40-0-9 = -65

Determinante einer n x n-Matrix:
Für Matrizen mit n>3 gibt es keine einfache Regel zur Determinantenberechnung (Sarrus Regel geht nicht!).
Um die Determinante einer n x n-Matrix zu berechnen gibt es verschiedene Algorithmen. Zum Beispiel kann man mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus die Matrix zu einer Dreiecksmatrix umformen, wobei das Produkt der Diagonalelemente die Determinante ist.

Oft einfacher ist es aber den Laplaceschen -Entwicklungssatz zu verwenden, der wie folgt definiert ist.

detA=detaij=i=1n1i+jaijdetAij

oder

detA=detaij=j=1n1i+jaijdetAij

Die erste Version entspricht einer Entwicklung nach Zeile, die zweite nach Spalte. Was zunächst kompliziert aussieht entpuppt sich als ein sehr einfacher Algorithmus. Wir gehen erst mal die einzelnen Komponenten des Produkts in der Summe durch.

Zunächst ist zu wissen, dass i die aktuelle Zeile und j die aktuelle Spalte einer Matrix ist. Daraus folgt, dass (-1)i+j bei jeder Erhöhung von i oder j das Vorzeichen ändert.
Man kann es sich als folgende Vorzeichen-Matrix vorstellen:
\begin{vmatrix}+ & - & +  \\  - & + & - & \dots\\ + & - & + \\ & \vdots & \end{vmatrix}

aij ist der Wert, der in der Matrix in der i-ten Zeile und j-ten Spalte steht.

det Aij ist die Determinante einer (n-1,n-1)-Matrix die entsteht, wenn man in der ursprünglicher Matrix die i-te Zeile und die j-te Spalte streicht.

Um die Determinante einer n x n-Matrix zu berechnen, wählt man eine eine beliebige Spalte(j) oder Zeile(i) in der Matrix aus. Vorteilhaft ist die Spalte oder Zeile, die am meisten Nullen enthält.
Danach führt man den Algorithmus wie oben definiert aus. Als Ergebnis bekommt man eine Gleichung in der eine Determinante kleinerer Ordnung vorkommt. So wird beispielsweise aus einem 4×4-Problem ein 3×3-Problem, welches man wie gewohnt mit Sarrusregel ausrechnen kann.

Hat man in der resultierenden Gleichung Matrizen größerer Ordnung als 3×3 stehen, so wendet man für jede dieser Matrizen wieder den Laplaceschen Entwicklungssatz an.

Beispiel: 3×3-Matrix:
Ich verwende hier die 3×3-Matrix aus dem oberen Beispiel um zu zeigen, dass der Laplacesche Entwicklungssatz auch für 3×3-Matrizen gilt.

det A = det \left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 5 \\  -1 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & -3  \end{array}\right) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\  -1 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & -3  \end{vmatrix} = \\

Wir entwickeln nach der zweiten Zeile, weil dort eine Null steht. Das erspart uns etwas Rechenarbeit.

Die erste Zahl ist a21=-1 mit dem Vorzeichen (-1)2+1 = -1 .
Die Matrix A21 entsteht, wenn wir die zweite Zeile und erste Spalte löschen.
matrix1

Die zweite Zahl ist a22=2 mit dem Vorzeichen (-1)2+2 = +1 .
Die Matrix A22 entsteht, wenn wir die zweite Zeile und zweite Spalte löschen.
matrix2

Die dritte Zahl ist a23=0. Den Rest brauchen wir nicht zu betrachten, weil Irgendwas multipliziert mit Null wieder Null ergibt. Wir haben uns hier eine Determinantenberechnung gespart.

Zusammengefasst ergibt alles:
\begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\  -1 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & -3  \end{vmatrix} = -1*(-1)*\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & -3  \end{vmatrix} + 2*\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 4 & -3  \end{vmatrix} + 0

An dieser Stelle können wir mit dem Wissen der 2×2-Determinantenberechnung sofort die Determinante der 3×3 Matrix angeben. Man könnte aber auch für die 2×2 Matrizen den Laplaceschen Entwicklungssatz anwenden. Das Ergebnis ist das Gleiche.
-1*(-1)*\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & -3  \end{vmatrix} + 2*\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 4 & -3  \end{vmatrix} + 0 = -19 -46 = -65

Beispiel: 4×4-Matrix:

det A = \begin{vmatrix}  3 & 7 & 3 & 0 \\  0 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \\ 6 & 6 & 4 & -1  \end{vmatrix} =

Wir entwickeln nach der ersten Spalte.

det A = 3*\begin{vmatrix}  2 & -1 & 1 \\  4 & 3 & 2 \\ 6 & 4 & -1  \end{vmatrix} - 0*\begin{vmatrix} \dots \end{vmatrix} + 5*\begin{vmatrix}  7 & 3 & 0 \\  2 & -1 & 1 \\ 6 & 4 & -1  \end{vmatrix} - 6*\begin{vmatrix}  7 & 3 & 0 \\  2 & -1 & 1 \\ 4 & 3 & 2  \end{vmatrix} \newline\newline =  3*(-6-12+16-18-16-4)+5*(7+18-28+6)-6*(-14+12-21-12) \newline\newline = -120 + 15 + 210 = 105

Abschließend möchte noch auf drei grundlegende Rechenregeln in Bezug auf Determinanten aufführen.

  • Multipliziert man eine Matrixzeile mit einer Zahl z, so erhöht sich die Determinante um Faktor z.
  • Vertauscht man zwei Matrixzeilen, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
  • Addiert man das Vielfache einer Zeile zu einer anderen, so ändert sich die Determinante nicht.

Hier finden Sie auch einen Online Determinantenrechner.




9 Kommentare zu “Berechnung von Determinanten einer 2×2, 3×3, 4×4 und nxn-Matrix”

  1. Raphaelam 31. Oktober 2012 um 11:38 Uhr

    Super Erklärung. Bei meinem Mathe Prof. hab‘ ich nichts verstanden und dabei ist das alles gar nicht so schwer… Danke!

  2. Jörgam 18. Januar 2013 um 15:48 Uhr

    Tolle Erklärung!

    Hätte jedoch noch eine Frage.

    Ist bei einer 4×4 immer die erste Zeile zu streichen oder könnte ich z. B. auch die Zweite streichen. Hätte ja dann den Vorteil dass ich mir eine Zeile mit vielen 0ern suchen kann und ich mir somit viel Zeit spare, weil das Ergebnis sowieso 0 wäre.

  3. Maximam 18. Januar 2013 um 16:18 Uhr

    Hallo Jörg,
    du kannst mit einer beliebigen Zeile anfangen. Du kannst auch eine Spalte nehmen.
    Das ist genau der Punkt: durch das geschickte Wählen, kann man sich viel Arbeit sparen.

  4. pascallam 19. März 2013 um 23:21 Uhr

    Hey,

    tolle Erklärung, bloß ist mir ein Fehler aufgefallen. Siehe „Determinante einer 3×3 Matrix“ -> das Beispiel. Das Ergebnis lautet -70 und nicht -65!
    Mehrfach durchgerechnet + Taschenrechner sagt dasselbe.

    Gruß
    Pascal!

  5. Maximam 19. März 2013 um 23:27 Uhr

    Hallo Pascall,
    das glaube ich nicht. -65 stimmt schon. https://www.virtual-maxim.de/online-determinanten-rechner/

    Also noch mal nachrechnen ;)

    Gruß

  6. Chrisam 24. März 2013 um 00:28 Uhr

    Ein Fehler hat sich bei der Determinante einer 2×2-Matrix: Im allgemeinen Teil ac-bd, wobei auch deine Belegung in der Matrix zu verbessern wäre.
    Lg und danke für die tolle Seite

  7. Maximam 24. März 2013 um 00:32 Uhr

    Ohje, da habe ich vorgestern c und b vertauschen wollen und dann ist das rausgekommen :D

  8. Oam 1. Januar 2014 um 16:37 Uhr

    Danke für die Erklärung, aber eine Sache hat mich doch ziemlich verwirrt:
    Direkt nach der Vorzeichen-matrix: Müsste es nicht heißen:
    „aij ist der Wert, der in der Matrix in der i-ten Zeile und j-ten Spalte steht.“?
    eine Matrix sieht ja für gewöhnlich so aus
    a11 a12 a13 …
    a21 a22 a23 …
    a31 a32 a33 …
    usw.

  9. Maximam 1. Januar 2014 um 19:50 Uhr

    Hallo,
    ja, da habe ich was vermischt. Im Beispiel wurde die normale Notation verwendet. Danke.

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