Physikübung 18: Satz von Steiner

Aufgabe:

Zwei massive Kugeln mit den Massen 4 kg und 1 kg und den Radien 30 cm und 10 cm sind mit einer Stange (deren Masse vernachlässigbar ist) miteinander verbunden (siehe Abbildung). Der Abstand zwischen den Kugelmittelpunkten beträgt 70 cm. Die Hantel wird waagerecht ausbalanciert und in Rotation versetzt. Berechnen Sie das Trägheitsmoment der Hantel.

Lösung:

Nach Satz von Steiner berechnet sich das Trägheitsmoment J um eine Rotationsachse wie folgt.

$J = J_{A} + m l^{2}$

Dabei ist J_A das Trägheitsmoment des Objekts (in diesem Fall einer Kugel) um den eigenen Schwerpunkt, m die Masse des Objekts und l der Abstand des Schwerpunkts von der Drehachse.

Die Masse der Kugeln ist gegeben. Der Schwerpunkt liegt genau im Zentrum einer Kugel (aufgrund der Symmetrie verständlich, ansonsten per Definition ausrechnen).
Das Trägheitsmoment einer massiver Kugel ist $J_{A} = \frac{2}{5} m r^{2}$ .

Was noch fehlt ist die Position der Drehachse. Diese befindet sich im Schwerpunkt der Hantel, also berechnen wir den Schwerpunkt. Dazu überlegen wir uns, dass die Hantel aufgehängt am Schwerpunkt in Ruhe ist, d.h. die Drehmomente der beiden Kugeln in Gleichgewicht sind.

$F_{g, 1} l_{1} = F_{g, 2} l_{2}$

$m_{1} g l_{1} = m_{2} g l_{2}$

$l_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1}} l_{2}$

Damit haben wir einen Ausdruck für den Abstand der ersten Kugel von der Rotationsachse, aber er ist noch von dem Abstand der zweiten Kugeln von der Rotationsachse abhängig. Nutzen wir die Tatsache, dass l₁+l₂=0.7 m =:D, so können wir die beiden Abstände bestimmen.

$\frac{m_{2}}{m_{1}} l_{2} + l_{2} = D$

$l_{2} = \frac{D}{\frac{m_{2}}{m_{1}} + 1}$

$l_{1} = \frac{D}{\frac{m_{1}}{m_{2}} + 1}$

Wir setzen alles in die erste Gleichung ein um dieTrägheitsmomente für beide Kugeln und das Gesamtträgheitsmoment zu berechnen.

$J_{1} = \frac{2}{5} 1 kg (0.1 m)^{2} + 1 kg {(\frac{0.7 m}{\frac{1 kg}{4 kg} + 1})}^{2}$

$J_{2} = \frac{2}{5} 4 kg (0.3 m)^{2} + 4 kg {(\frac{0.7 m}{\frac{4 kg}{1 kg} + 1})}^{2}$

$J = J_{1} + J_{2}$

$J = 0.3176 {kgm}^{2} + 0.2224 {kgm}^{2} = 0.54 {kgm}^{2}$

Viel Spaß damit! =)

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