Abstand berechnen: Punkt – Punkt

Abstand berechnen: Punkt – Punkt

Abstandsberechnung zwischen zwei Punkten ist eine Grundvoraussetzung für das Verständnis zur Berechnung von Abständen zwischen zweier Geraden oder einer Gerade und einer Ebene. Ich werde hier mit einen Herleitung zeigen, dass es gar nicht so schwer ist.

Eine typische Aufgabenstellung lautet: Berechnen Sie den Abstand zwischen den Punkten A(2|4) und B(5|1).

Eingezeichnet in ein kartesisches Koordinatensystem sieht es so aus:
Abstand: Punkt - Punkt

Man sucht also die Strecke c.
Nimmt man c als die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks an, so bekommt man folgendes Bild:
Abstand zwischen zwei Punkten

Nach Pythagoras gilt die Beziehung: c2=a2 + b2.

Wie man aus der Zeichnung aber entnehmen kann, ist a=xB-xA und b=yA-yB. Setzt man das in den Satz des Pythagoras ein, so bekommt man:

c=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_A-y_B)^2}

Ziemlich konfus erscheint zunächst, dass unter der Klammer ein mal xB-xA und mit einer anderen Reihenfolge yA-yB steht. Das ist aber kein Problem, denn die Differenz der Koordinaten wird ins Quadrat genommen. Man siehe selbst:

(x_B-x_A)^2 = x_B^2 - 2 x_B x_A + x_A^2 = x_A^2 - 2 x_A x_B + x_B^2 = (x_A-x_B)^2

Wie man sieht, macht es keinen Unterschied in welcher Reihenfolge die einzelnen Koordinatenwerte stehen und wir können die Formel etwas schöner schreiben.

c=\sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2}

Damit lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten leicht berechnen.
Analog kann man auch Überlegung für 3D-Punkte anstellen und man erhält eine ähnliche Gleichung.

c=\sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2 + (z_A-z_B)^2}

Hier findet man auch einen Online-Rechner, um den Abstand zwischen zwei Punkten zu bestimmen.

Alle Zeichnungen wurden mit GeoGebra erstellt.

14 Gedanken zu “Abstand berechnen: Punkt – Punkt”

  1. Also wenn du zwei Punkte hast: P1(3, 5) und P2(-1, 2), dann rechnest du einfach:

    Abstand zwischen P1 und P2 = Wurzel[ (3 – (-1))² + (5 – 2)² ] = 5

    Bitte verwende deine richtige E-Mail Adresse. Keine Angst, sie wird nicht weiter verkauft ^^

  2. Hallo, erstmal vielen Dank für diese Erklärung!
    Habe nur bei einer Anwendungsaufgabe ein Problem:
    folgende Punkte sind gegeben: A(1;2;3) und B(4;-1;5)
    Man soll nun den Abstand zwischen beiden Punkten berechnen, eigentlich kein großes Problem, aber rechnet man es mit der hier angegebenen Formel aus, kommt etwas anderes heraus als mit dem Online Rechner (https://www.virtual-maxim.de/abstand-online-berechnen-punkt-punkt/)

    Schonmal danke für die Mühe im Voraus!

  3. Das Ergebnis hatte ich auch, vielleicht Eingabefehler beim Rechner…

    Vielen vielen Dank, die Seite hier ist wirklich der Wahnsinn! ;)

Schreibe einen Kommentar