Abstand berechnen: Punkt – Punkt



Abstandsberechnung zwischen zwei Punkten ist eine Grundvoraussetzung für das Verständnis zur Berechnung von Abständen zwischen zweier Geraden oder einer Gerade und einer Ebene. Ich werde hier mit einen Herleitung zeigen, dass es gar nicht so schwer ist.

Eine typische Aufgabenstellung lautet: Berechnen Sie den Abstand zwischen den Punkten A(2|4) und B(5|1).

Eingezeichnet in ein kartesisches Koordinatensystem sieht es so aus:
Abstand: Punkt - Punkt

Man sucht also die Strecke c.
Nimmt man c als die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks an, so bekommt man folgendes Bild:
Abstand zwischen zwei Punkten

Nach Pythagoras gilt die Beziehung: c2=a2 + b2.

Wie man aus der Zeichnung aber entnehmen kann, ist a=xB-xA und b=yA-yB. Setzt man das in den Satz des Pythagoras ein, so bekommt man:

c=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_A-y_B)^2}

Ziemlich konfus erscheint zunächst, dass unter der Klammer ein mal xB-xA und mit einer anderen Reihenfolge yA-yB steht. Das ist aber kein Problem, denn die Differenz der Koordinaten wird ins Quadrat genommen. Man siehe selbst:

(x_B-x_A)^2 = x_B^2 - 2 x_B x_A + x_A^2 = x_A^2 - 2 x_A x_B + x_B^2 = (x_A-x_B)^2

Wie man sieht, macht es keinen Unterschied in welcher Reihenfolge die einzelnen Koordinatenwerte stehen und wir können die Formel etwas schöner schreiben.

c=\sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2}

Damit lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten leicht berechnen.
Analog kann man auch Überlegung für 3D-Punkte anstellen und man erhält eine ähnliche Gleichung.

c=\sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2 + (z_A-z_B)^2}

Hier findet man auch einen Online-Rechner, um den Abstand zwischen zwei Punkten zu bestimmen.

Alle Zeichnungen wurden mit GeoGebra erstellt.




14 Kommentare zu “Abstand berechnen: Punkt – Punkt”

  1. Butterkeksam 11. Mai 2010 um 19:00 Uhr

    hätteste sowas nicht vor meinem mathe-abi einstellen können? -.-

  2. Maximam 11. Mai 2010 um 19:04 Uhr

    hehe
    Vielleicht hilft es anderen Schülern ;)

  3. matheloseram 26. April 2012 um 14:58 Uhr

    das funktioniert nicht. ich habs ausprobiert.

  4. Maximam 26. April 2012 um 15:00 Uhr

    Was genau meinst du? Schreibe doch rein, was genau du gemacht hast, vlt. kann ich dir helfen ;)

  5. lolam 23. Mai 2012 um 20:19 Uhr

    hallo bei mir kommt 0 raus ich rechne wurzel (2-5)plus(4-1)

  6. Maximam 23. Mai 2012 um 20:24 Uhr

    Was genau möchtest du berechnen? Den Abstand zwischen welchen Punkten?

  7. lolam 23. Mai 2012 um 20:24 Uhr

    OH sry da kommt 4.24

  8. lolam 23. Mai 2012 um 20:29 Uhr

    keine ahnung ich verstehe das nicht was muss ich überhupt rechen

  9. lolam 23. Mai 2012 um 20:30 Uhr

    ich habe einfach die koordinaten von a und b genommen und dann die formel angewendet

  10. Maximam 23. Mai 2012 um 20:39 Uhr

    Also wenn du zwei Punkte hast: P1(3, 5) und P2(-1, 2), dann rechnest du einfach:

    Abstand zwischen P1 und P2 = Wurzel[ (3 – (-1))² + (5 – 2)² ] = 5

    Bitte verwende deine richtige E-Mail Adresse. Keine Angst, sie wird nicht weiter verkauft ^^

  11. selam 25. September 2012 um 18:52 Uhr

    Vielen lieben Dank ~
    Morgen Mathearbeit und ich hab es endlich verstanden :D

  12. Maxam 31. Mai 2013 um 16:47 Uhr

    Hallo, erstmal vielen Dank für diese Erklärung!
    Habe nur bei einer Anwendungsaufgabe ein Problem:
    folgende Punkte sind gegeben: A(1;2;3) und B(4;-1;5)
    Man soll nun den Abstand zwischen beiden Punkten berechnen, eigentlich kein großes Problem, aber rechnet man es mit der hier angegebenen Formel aus, kommt etwas anderes heraus als mit dem Online Rechner (https://www.virtual-maxim.de/abstand-online-berechnen-punkt-punkt/)

    Schonmal danke für die Mühe im Voraus!

  13. Maximam 31. Mai 2013 um 16:53 Uhr

    Hallo,

    dann machst du etwas falsch :)

    Hier noch mal nachgerechnet:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=Sqrt%28%284-1%29%5E2+%2B+%28-1-2%29%5E2+%2B+%285-3%29%5E2%29

  14. Maxam 31. Mai 2013 um 16:59 Uhr

    Das Ergebnis hatte ich auch, vielleicht Eingabefehler beim Rechner…

    Vielen vielen Dank, die Seite hier ist wirklich der Wahnsinn! ;)

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