Durch die Erde mit Gravitationsantrieb



Man stelle sich einen langen geraden Tunnel z.B. von Paris nach Moskau vor. Würde man an einem Ende des Tunnels einen Zug (oder ein anderes Transportmittel) hinstellen, so würde er durch die Schwerkraft immer weiter in den Tunnel hinein beschleunigt. Ab der Mitte des Tunnels würde der Zug abbremsen, so dass er am anderen Ende zum Stillstand käme.

Wie lange würde solch eine Reise dauern? Wie groß wären die Geschwindigkeiten?
Um diese Fragen zu beantworten, schauen wir uns das Problem von der physikalischen Seite etwas genauer an.

Gravitationszug. Schematische Zeichnung.

Gravitationszug. Schematische Zeichnung.

Die Gravitationskraft die auf eine Masse m wirkt berechnet sich nach Newton wie folgt:

Fgr=GMrmr2

Befindet sich der Zug bereits unter der Erde, so kann man die Erdkugel in zwei Teile unterteilen: eine Kugel die unter dem Zug ist und eine Kugelschale ab der Position des Zuges bis zum Erdradius. Die Kugelschale hat keinen Einfluss auf den Zug, weil von ihr ausgehende Gravitationskräfte sich gegenseitig aufheben. Wichtig ist nur die Masse M(r) der Erdkugel unter dem Zug (wie gehen von einer homogenen Dichte aus).

Fgr=GMmR3r

Aus der Zeichnung wird deutlich, dass die Gravitationskraft nicht in die Fahrtrichtung, sondern zum Erdmittelpunkt wirkt. Um die beschleunigende Kraft zu berechnen, muss noch ein Winkel berücksichtigt werden.

Fz=sinαFg sinα=l2xr

Damit haben wir einen Ausdruck für die Kraft, die in die Fahrrichtung wirkt.

Fz=GmMR3l2x

Gleichsetzen mit der Newtonschen Kraftformel F=ma, führt zu einer Bewegungsgleichung.

x¨=GMR3l2x

Diese Gleichung lässt sich durch folgenden Ansatz mit Konstanten A,ω und C lösen.

xt=Acosωt+C

Durch Nachrechnen bekommt man schließlich die Ortsgleichung.

xt=l21cosωt

Die Konstante ω hat die Bedeutung der Kreisfrequenz und wird in diesem Fall wie folgt berechnet:

ω=GMR3

Daraus lässt sich sofort die Periode der Schwingung berechnen. Die Fahrzeit in eine Richtung entspricht halber Periode.

T=2πω T=2πR3GM

Aus dieser Lösung lassen einige interessante Aussagen gewinnen. So ist die Fahrzeit weder von der Masse des Zuges, noch von der Tiefe und der Länge des Tunnels abhängig. Mit anderen Worten es ist egal, ob man der Tunnel so anlegt wird, dass er 50 km oder 1000 km entfernte Städte verbindet – die Fahrzeit bleibt gleich. Doch wie groß ist sie?
Wir setzen die bekannten Größen in die Gleichung ein.

T=2π(6360·103 m)36.6738·1011 N m2kg 5.974·1024 kg

Das Ergebnis lautet T=84,12 Minuten, d.h. die Fahrzeit in eine Richtung beträgt 42 Minuten.
Man stelle sich nur vor: Frankfurt-New York in 42 Minuten! Moment mal, mehrere Tausend Kilometer in 42 Minuten? Wie schnell wäre man da unterwegs?

Um die Geschwindigkeit des Zuges zu berechnen muss man die Ortsfunktion nach Zeit ableiten.

vt=lω2sinωt

Man sieht, dass in der Gleichung die Länge des Tunnels auftaucht. Je länger der Tunnel, desto höher die Geschwindigkeit.

Zuggeschwindigkeit im Erdmittelpunkt
Betrachtet man einen Tunnel durch den Erdmittelpunkt (auch wenn nicht technisch umsetzbar), so würde ein Zug darin eine Spitzengeschwindigkeit von 28500 km/h erreichen. Bei einem 1000 km Tunnel wären es immerhin noch knapp 4500 km/h. Natürlich sind es alles Geschwindigkeiten, die unter realen Bedingung aufgrund des Luftwiderstandes nicht zu erreichen sind (hier habe ich ihn nicht berücksichtigt). Real wäre also auch die Reisedauer von der Tunnellänge abhängig. Zusätzlich müsste man auch viel mehr Energie aufwenden, um den Zug zum Ziel zu bringen, da weniger kinetischer Energie ab dem Mittelpunkt zur Verfügung steht. Über den Bau eines Tunnels im flüssigen Magma will ich gar nicht reden. Alles Punkte, die den Gravitationszug auf der Erde nicht besondern attraktiv machen. Anders sieht es aber zum Beispiel auf dem Mond oder anderen geologisch inaktiven Himmelskörpern ohne Atmosphäre aus. In weiter Zukunft könnten auf diese Weise weit von einander entfernte Mondstationen verbunden werden.

Eine weite Bekanntheit hat das Konzept des Gravitationszuges durch den Film „Total Recall“ erfahren. Dort heißt das Gefährt „the fall“ bzw. „der Fall“. Darüber werde ich aber ein anderes Mal etwas schreiben. ;)




5 Kommentare zu “Durch die Erde mit Gravitationsantrieb”

  1. jsam 22. Februar 2014 um 15:21 Uhr

    Danke. Sehr faszinierend die platonische Zeitunabhängigkeit.

    Ich habe eine Frage hierzu: „Befindet sich der Zug bereits unter der Erde [Anm.: ~durchgehend, nicht wahr?], so kann man die Erdkugel in zwei Teile unterteilen: eine Kugel die unter dem Zug ist und eine Kugelschale ab der Position des Zuges bis zum Erdradius.“

    Eine sinnvolle Unterscheidung: „Kugel vs. Kugelschale“ wäre ja bei dem hypothetisch senkrechten Tunnel nicht mehr gegeben, bzw., wer könnte dann argumentieren, daß beides Kugelschalen sind, und also gelte:

    „Die Kugelschale hat keinen Einfluss auf den Zug, weil von ihr ausgehende Gravitationskräfte sich gegenseitig aufheben.“?

    Der Tunnel beschreibt ja keine Äquipotentiallinie auch bezüglich der oberen Kalotte. Und die Erde ist kein Hohlkörper mit Nullpotential unterhalb seiner Oberfläche.

    Vielleicht habe ich gerade ein Verständnisproblem, aber wenn ich nur eine relativ massive Kugelschale (~Erdmasse) hätte, so hoffe ich, daß es selbstverständlich ein Gravitationsphänomen gäbe. Allerdings eine solitäre Kugelschale (in dieser Form) ab einer bestimmten Masse nicht existieren würde, sondern die entsprechende Masse dann als sphärische Form: Erde erschiene.

    grüße

  2. Maximam 22. Februar 2014 um 15:53 Uhr

    Hallo.
    Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Fragestellung richtig verstehe, deswegen versuche ich den Sachverhalt neu zu formulieren.

    Die wichtigsten Annahmen die beiden Rechnung gemacht wurden sind: die Erde ist eine perfekte Kugel mit konstanten Dichte, es gibt keine Reibung (Luftwiderstand).

    Stell dir vor, man würde den Erdkern entfernen, man hätte also in der Mitte der Erde einen Hohlraum. Würde sich ein Mensch dort befinden, so wäre er schwerelos, weil die Anziehung der Erde um ihn herum in alle Richtungen gleich wäre und sich somit aufheben würde. Platziert man jetzt in das Zentrum eine Masse, so würde sie den Menschen anziehen (genauer sie sich gegenseitig).

    Bei der Aufgabe oben geht man genauso vor. Egal wo sich der Zug unter der Erde befindet, man kann alles was über ihn ist als eine Kugelschale ansehen und ignorieren, da sie keinen Einfluss auf die resultierende Gravitationskraft hat. Entscheidend ist nur was darunter ist.

    http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelschale#Schwerelosigkeit_im_Innern_einer_Kugelschale

  3. jsam 22. Februar 2014 um 19:35 Uhr

    Hallo, danke für die Antwort,

    ich verstehe. Ich habe „darüber“ und „darunter“ falsch gelesen. Ich dachte, Du meintest die Kalotte („oben“ im Querschnitt: wie durch den Tunnel abgeschnitten). My fault.

  4. jsam 14. März 2014 um 15:41 Uhr

    Noch eine Frage:

    Es scheint hierbei (o.) einleuchtend, daß nur ein freier Fall durch den längstmöglichen Tunnel l = r entlang der Rotationsachse so leicht und elegant betrachtet werden kann.

    Kann man also ohne Spitzfindigkeit sagen, daß das Modell nur für nichtrotierende (nicht existente) Körper gilt? Daß also (in realiter) nicht alle denkbaren (kürzesten) Wege kräftefrei gegangen werden können sondern nur der längste?

    gruß

  5. Maximam 22. März 2014 um 13:20 Uhr

    Hallo,
    tschuldigung, habe die Frage erst jetzt gesehen….normalerweise bekomme ich eine Mail bei neuen Kommentaren.

    Bei rotierenden Körpern kommt natürlich noch die Coriolis- und die Zentrifugalkraft dazu. Die erste würde vor allem Reibung verursachen (die in diesem idealisierten Model ignoriert wird), während die zweite die Beschleunigung beim Start abbremsen und den Bremsweg verlängern würde. Zumindest jetzt mal auf die schnelle gesagt, ohne es nachzurechnen.

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