Physikübung 20: Wie tief ist der Brunnen?



Aufgabe:

Bob wirft ein Stein in einen Brunnen und hört nach 4 Sekunden den Aufprall. Wie tief ist der Brunnen?
Hinweis: Schallgeschwindigkeit beträgt 340 m/s. Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden.

Lösung:

Der Stein fällt gleichmäßig beschleunigt nach unten bis er auf den Boden des Brunnens auftritt. Durch den Aufprall entstehende Druckwelle bewegt sich nach oben wird schließlich vom Bob gehört.

Es müssen also zwei Zeiten betrachtet werden:
ts := die Zeit, die der Stein bis zum Boden braucht.
t := die Zeit, die die Schallwelle zum Bob braucht.

Bob misst die Gesamtzeit tges=t+ts.

Für den Stein gelten die Gleichungen für gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

s=12gts2

Für ts setzen wir tges-t ein.

s=12g(tgest)2

Der Schall breitet sich mit einer konstanten Geschwindigkeit v=340 m/s aus.

s=vt

Wir können diese Gleichung nach t umstellen und in die vorherige einsetzen.

s=12g(tgessv)2

Somit haben wir eine quadratische Gleichung für s, die nur noch gelöst werden muss.
Man multipliziert die Gleichung mit 2/g, schreibt die Binomische Gleichung aus und bringt alle Terme auf eine Seite.

s2+2vtges2v2gs+v2tges2=0

Jetzt können wir die PQ-Formel anwenden.

s1/2=122vtges2v2g±142vtges2v2g2v2tges2 s1/2=vtges+v2g±2v3tgesg+v4g2

Es gibt zwei Ergebnisse, was physikalisch unsinnig ist. Man muss entscheiden ob das Ergebnis mit dem + oder – vor der Wurzel nimmt.
Wenn man v ausklammert, erkennt man die Bewegungsgleichung für den Schall (s=vt). Damit muss der Term in der Klammer der Zeit t entsprechen.

s1/2=vtges+vg±2vtgesg+v2g2 s1/2=vtges+vg±2vtgesg+v2g2t

Wenn man t ausrechnet, so bekommt man nur einen Wert, der kleiner als die Gesamtzeit ist. Dies ist dann der Fall, wenn man das Minuszeichen von der Wurzel wählt.
Damit lautet das Ergebnis wie folgt.

s=vtges+vg2vtgesg+v2g2

Setzt man die gegeben Größen ein, so kommt auf eine Tiefe von 70,55 m. Ganz schön tief…

Viel Spaß damit! =)




2 Kommentare zu “Physikübung 20: Wie tief ist der Brunnen?”

  1. Nicam 12. März 2016 um 13:54 Uhr

    Ich glaube daran sollten sich ein paar leute mal dran machen, die tiefe des eigenen gartenbrunnens zu berechnen :D das wird bestimmt lustig, hab es bei meinem Schon gemacht, raus kam ca. 8,33 Meter :)

  2. Gustav Sucheram 24. September 2018 um 12:14 Uhr

    Das ist doch mal eine coole Idee. Statt den Brunnen aufwendig zu vermessen, sollte man einfach einen Stein hinein werfen und die Zeit stoppen um die höhe das Brunnen zu errechnen. Danke für die Idee!

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