Kurvenintegral 2. Art berechnen



Im letzten Beitrag habe ich erkl├Ąrt, wie Kurvenintegrale der ersten Art berechnet werden, d.h. die Integrale, die entlang eines Weges ├╝ber einen skalaren Feld definiert sind. Jetzt schauen wir uns die Kurvenintegrale ├╝ber Vektorfelder an.

Das Kurvenintegral der zweiten Art ist wie folgt definiert (vergleiche mit der 1. Art).

ωf ds=abf(ω(t))·dω(t)dtdt 

Die Berechnung von Kurvenintegralen der zweiten Art l├Ąuft fast genauso, wie der ersten Art ab. Der Unterschied ist, dass im Integral nicht der Betrag der Ableitung des Integrationsweges steht, sondern nur die Ableitung. Mit der Skalarmultiplikation mit dem Vektorfeld ergibt sich im Integral wieder ein Skalar und wir k├Ânnen ganz normal ein eindimensionales Integral l├Âsen.

Um das Kurvenintegral zu berechnen m├╝ssen folgende Schritte durchgef├╝hrt w├╝rden.

  1. Parametrisierung der Kurve ¤ë(t) bestimmen (z.B. aus einer Zeichnung ablesen).
  2. Integrationsgrenzen a und b bestimmen, so dass ¤ë(a) und ¤ë(b) den Start- und den Endpunkt der Kurve beschreiben.
  3. ¤ë(t) nach t ableiten.
  4. Komponenten von ¤ë(t) in f einsetzen (ersten Eintrag als x, zweiten als y, ÔÇŽ).
  5. Alle Teilergebnisse in einem Integral zusammenfassen (Skalarprodukt!) und das Integral ausrechnen.

Zum besseren Verst├Ąndnis rechnen wir ein Beispiel mit einem zweidimensionalen Vektorfeld durch.

Beispiel.

Man sollte das Kurvenintegral ├╝ber dem Vektorfeld f(x,y)=(2xy-x┬▓, x+y┬▓)T entlang des Weges ¤ë(t)=(t┬▓,t)T von Punkt A nach Punkt B berechnet werden (siehe Zeichnung).

Die Integrationsgrenzen k├Ânnen einfach aus der Zeichnung abgelesen werden. F├╝r den Punkt A muss gelten (t┬▓,t)=(0,0), deswegen ist die erste Grenze bei t=0. F├╝r den Punkt findet man t=1.

Wir leiten ¤ë(t) nach t ab.

ddtt2t=ddtt2ddtt=2t1

Wir setzen ¤ë(t) in f ein.

f(ω(t))=2·t2·tt4t2+t2=2t3t42t2

Als n├Ąchstes wird das Skalarprodukt zwischen f(¤ë(t)) und d¤ë(t)/dt berechnet.

f(ω(t))·dω(t)dt=2t3t42t2·2t1
=(2t3t4)·2t+2t2·1 =4t42t5+2t2

Abschlie├čend wird das Ergebnis des Skalarprodukts in das Integral mit den Integrationsgrenzen eingesetzt und das Integral berechnet.

012t5+4t4+2t2dt
=[26t6+45t5+23t3]01=1715

Die Integration ├╝ber mehrdimensionale Vektorfelder verl├Ąuft ganz analog. Man hat nur mehr Komponenten in der Darstellung des Weges und des Vektorfeldes.

Viel Spa├č damit! =)




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