Kurvenintegral 1. Art berechnen



Im Folgenden m├Âchte ich erkl├Ąren, wie man Kurvenintegrale der ersten Art berechnet.

Haben wir eine stetige skalare Funktion f und eine mindestens ein mal stetig differenzierbare Kurve ¤ë(t) in parametrisierter Form gegeben, so berechnet sich das Kurvenintegral von f entlang der Kurve ¤ë(t) wie folgt:

ωf ds=abfωtdωtdtdt 

Was zun├Ąchst kompliziert aussieht, ist eine einfache „Schema F“-Vorschrift.
Falls nicht bereits vorgegeben, m├╝ssen folgende Punkte abgehandelt werden:

  1. Parametrisierung der Kurve ¤ë(t) bestimmen (z.B. aus einer Zeichnung ablesen).
  2. Integrationsgrenzen a und b bestimmen, so dass ¤ë(a) und ¤ë(b) den Start- und den Endpunkt der Kurve beschreiben.
  3. ¤ë(t) nach t ableiten und davon den Betrag berechnen.
  4. Komponenten von ¤ë(t) in f einsetzen (ersten Eintrag als x, zweiten als y, …).
  5. Alle Teilergebnisse in einem Integral zusammenfassen und das Integral ausrechnen.

Beispiel.

Es ist eine skalares Feld f(x,y) = x┬▓+2y┬▓x gegeben. Berechnen Sie das Integral entlang der Kurve ¤ë(t)=(4t,3t) zwischen den Punkten (-4,-3) und (4,3).

Anschaulich sieht es folgenderma├čen aus (z=f(x,y)).

Wir suchen also die Fl├Ąche, die die Kurve (schwarz im Bild) mit der z-Achse einschlie├čt.

Die Parametrisierung der Kurve ist uns gegeben, also m├╝ssen wir die Grenzen f├╝r das Integrationsintervall bestimmen.
F├╝r den ersten Punkt muss gelten (4t,3t) = (-4,-3) oder anders geschrieben: 4t=-4 und 3t=-3. Das hei├čt f├╝r den ersten Punkt muss t=-1 sein.
F├╝r den zweiten Punkt gilt (4t,3t) = (4,3), also ist die zweite Grenze t=1.

Als n├Ąchstes berechnen wir die Ableitung von ¤ë(t). Dazu wird jede Komponente nach t abgeleitet.

ddtωt=ddt4t3t=ddt4tddt3t=43

Der Betrag von d/dt ¤ë(t) ist einfach der Betrag des Vektors.

ddtωt=42+32=5

Wir setzen ¤ë(t) in f ein.

fωt=4t2+23t24t=16t2+72t3

Damit haben wir alle Teilergebnisse und k├Ânnen das Integral berechnen.

11(16t2+72t3)5dt  =4023t3+94t411=160353.3

Viel Spa├č damit! :)




4 Kommentare zu “Kurvenintegral 1. Art berechnen”

  1. tacoam 27. Februar 2013 um 20:37 Uhr

    Gegeben ist x┬▓-2y┬▓x rechnest aber mit x┬▓+2y┬▓x.
    VIELEN DANK
    Jetzt habe ich es verstanden :-D YEAH

  2. Maximam 27. Februar 2013 um 20:53 Uhr

    Stimmt. War nat├╝rlich pure Absicht ;) Danke.
    Jetzt passt aber der Plot nicht. Naja, Hauptsache man hat verstanden wie man die Definition anwenden soll.

  3. Felixam 9. Juni 2013 um 11:58 Uhr

    Das ist wirklich sehr ├╝bersichtlich erkl├Ąrt, vielen Dank!!!
    Aber warum steht, wenn wir die Teilergebnisse einsetzen, in der dritten Zeile von unten, hinter dem Betrag nochmal der Parameter t? So, wie ich es verstanden habe, m├╝sste doch hinter der Klammer nur noch der Betrag, also 5, stehen und dann das dt. Wei├č jemand, wo mein Denkfehler liegt?
    Danke!

  4. Maximam 9. Juni 2013 um 16:12 Uhr

    Hallo Felix,
    ich habe jetzt mal das ganze ├╝berflogen. Da scheint wirklich ein t zu viel zu sein, danke. Das Ergebnis habe ich angepasst. Kannst es ja noch mal nachrechnen und dich melden, ob du es auch raus hast.

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