Kurvenintegral 1. Art berechnen



Im Folgenden möchte ich erklären, wie man Kurvenintegrale der ersten Art berechnet.

Haben wir eine stetige skalare Funktion f und eine mindestens ein mal stetig differenzierbare Kurve ω(t) in parametrisierter Form gegeben, so berechnet sich das Kurvenintegral von f entlang der Kurve ω(t) wie folgt:

ωf ds=abfωtdωtdtdt 

Was zunächst kompliziert aussieht, ist eine einfache „Schema F“-Vorschrift.
Falls nicht bereits vorgegeben, müssen folgende Punkte abgehandelt werden:

  1. Parametrisierung der Kurve ω(t) bestimmen (z.B. aus einer Zeichnung ablesen).
  2. Integrationsgrenzen a und b bestimmen, so dass ω(a) und ω(b) den Start- und den Endpunkt der Kurve beschreiben.
  3. ω(t) nach t ableiten und davon den Betrag berechnen.
  4. Komponenten von ω(t) in f einsetzen (ersten Eintrag als x, zweiten als y, …).
  5. Alle Teilergebnisse in einem Integral zusammenfassen und das Integral ausrechnen.

Beispiel.

Es ist eine skalares Feld f(x,y) = x²+2y²x gegeben. Berechnen Sie das Integral entlang der Kurve ω(t)=(4t,3t) zwischen den Punkten (-4,-3) und (4,3).

Anschaulich sieht es folgendermaßen aus (z=f(x,y)).

Wir suchen also die Fläche, die die Kurve (schwarz im Bild) mit der z-Achse einschließt.

Die Parametrisierung der Kurve ist uns gegeben, also müssen wir die Grenzen für das Integrationsintervall bestimmen.
Für den ersten Punkt muss gelten (4t,3t) = (-4,-3) oder anders geschrieben: 4t=-4 und 3t=-3. Das heißt für den ersten Punkt muss t=-1 sein.
Für den zweiten Punkt gilt (4t,3t) = (4,3), also ist die zweite Grenze t=1.

Als nächstes berechnen wir die Ableitung von ω(t). Dazu wird jede Komponente nach t abgeleitet.

ddtωt=ddt4t3t=ddt4tddt3t=43

Der Betrag von d/dt ω(t) ist einfach der Betrag des Vektors.

ddtωt=42+32=5

Wir setzen ω(t) in f ein.

fωt=4t2+23t24t=16t2+72t3

Damit haben wir alle Teilergebnisse und können das Integral berechnen.

11(16t2+72t3)5dt  =4023t3+94t411=160353.3

Viel Spaß damit! :)




4 Kommentare zu “Kurvenintegral 1. Art berechnen”

  1. tacoam 27. Februar 2013 um 20:37 Uhr

    Gegeben ist x²-2y²x rechnest aber mit x²+2y²x.
    VIELEN DANK
    Jetzt habe ich es verstanden :-D YEAH

  2. Maximam 27. Februar 2013 um 20:53 Uhr

    Stimmt. War natürlich pure Absicht ;) Danke.
    Jetzt passt aber der Plot nicht. Naja, Hauptsache man hat verstanden wie man die Definition anwenden soll.

  3. Felixam 9. Juni 2013 um 11:58 Uhr

    Das ist wirklich sehr übersichtlich erklärt, vielen Dank!!!
    Aber warum steht, wenn wir die Teilergebnisse einsetzen, in der dritten Zeile von unten, hinter dem Betrag nochmal der Parameter t? So, wie ich es verstanden habe, müsste doch hinter der Klammer nur noch der Betrag, also 5, stehen und dann das dt. Weiß jemand, wo mein Denkfehler liegt?
    Danke!

  4. Maximam 9. Juni 2013 um 16:12 Uhr

    Hallo Felix,
    ich habe jetzt mal das ganze überflogen. Da scheint wirklich ein t zu viel zu sein, danke. Das Ergebnis habe ich angepasst. Kannst es ja noch mal nachrechnen und dich melden, ob du es auch raus hast.

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